随机变量的独立
我们在这里主要讨论的是随机变量的独立性. 在这里限制\((\Omega',\mathscr{F})=(\mathbb{R},\mathscr{B}_{\mathbb{R}})\),
给出随机变量的独立性(参考钟开莱的定义):
定义1 (随机变量的独立) 设随机变量\(X_1,X_2,\cdots,X_n:(\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\to(\mathbb{R},\mathscr{B}_{\mathbb{R}})\),
如果对任意的\(B_1,B_2,\cdots,B_n\in\mathscr{B}_{\mathbb{R}}\),
都有 \[
\mathbb{P}(X_1\in B_1,X_2\in B_2,\cdots, X_n\in B_N)=\mathbb{P}(X_1\in
B_1)\cdot\mathbb{P}(X_2\in B_2)\cdots\mathbb{P}(X_n\in B_n),
\] 则称随机变量\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)独立。
我们接下来深入探讨随机变量的独立性. 考虑到\(\m ...
随机元的独立
基于事件的独立性, 我们可以探讨随机变量的独立性. 在此之前,
我们希望将随机变量的概念延拓到一般的随机元(参考程士宏的定义)上,
从而能够将随机变量、随机向量和随机过程的讨论放在一起.
定义1 (随机元) 设\((\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\)是概率空间,
\((\Omega',\mathscr{G})\)是可测空间,
函数\(X:\Omega\to\Omega'\), 且
\[
X^{-1}(\mathscr{A})\subset\mathscr{F},
\] 则称\(X\)是\((\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\)到\((\Omega',\mathscr{G})\)的随机元(在实变函数中被称为可测映射).
若\((\Omega',\mathscr{G})=(\mathbb{R},\mathscr{B}_{\mathbb{R}})\),
则\(X\)是随机变量;
若\((\Omega',\mathscr{G})=(\mathbb{R}^n,\ma ...
事件的独立
以下设\((\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\)为概率空间,
首先讨论事件与事件\(\sigma\)-域的独立性(参考苏淳的定义).
设事件\(A,B\in\mathscr{F}\), 若
\[
\mathbb{P}(AB)=\mathbb{P}(A)\cdot\mathbb{P}(B),
\] 则称事件\(A\)与事件\(B\)独立;
设事件\(A_1,A_2,\cdots,A_n\in\mathscr{F}\),
若对任意的\(2\le k\le n\),
以及对任意的\(1\le i_1\le i_2\le\cdots\le
i_k\le n\), 都有 \[
\mathbb{P}(A_{i_1}A_{i_2}\cdots
A_{i_k})=\mathbb{P}(A_{i_1})\cdot\mathbb{P}(A_{i_2})\cdots\mathbb{P}(A_{i_k}),
\] 则称事件\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)独立;
设事件列\(\{A_n\}\subset\mathscr{F}\),
若对任意 ...
Monty Hall问题的数值模拟设计与结果
可以下载电子版报告：Monty
Hall问题的数值模拟设计与结果-2022.03.pdf。
摘要
针对Monty
Hall问题，本篇报告在一定假设下，设计了数值模拟，计算得到参赛者选择不换门和选择换门时选中正确的门的概率分别为\(\dfrac{1}{3}\)和\(\dfrac{2}{3}\)，并对该结果进行简单分析。
关键词：条件概率，Monty Hall问题，数值模拟。
概述：条件概率与Monty
Hall问题
设\((\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\)是概率空间，对于事件\(,B\in\mathscr{F}\)，定义在事件\(A\)发生的条件下，事件\(B\)的条件概率为 \[
\mathbb{P}(B|A):=\dfrac{\mathbb{P}(AB)}{\mathbb{P}(A)}.
\]
初等概率论对条件概率的理解更多停留在直观上，这也导致了面对一些问题时，会出现模棱两可的情况。为了体现这一点，本篇报告考虑的是著名的Monty
Hall问题，又称三门问题。
Monty Hall问题来自美国的电视游戏节目Let ...
2022年高等概率论讨论班
高等概率论以初等概率论、实分析和测度论为基础，是研究随机现象的数量规律的数学学科。
课程：高等概率论；
书籍：《A Course in Probability Theory》；
周次：第3周至第16周；
时间：周一上午10:00至11:30；
QQ群：694658057。
学习进度
第1-2次：符号测度，条件期望，鞅；
第1次（测度论）：符号测度，Radon-Nikodym定理；
第2次（概率论）：条件期望，条件概率，鞅。
第3次：分布函数，集合；
第4次：测度空间，概率测度；
第5次：随机变量，期望；
第6次：独立，乘积空间；
第7次：几乎处处收敛，依概率收敛；
第8次：B-C引理，弱收敛；
第9次：依分布收敛，矩收敛；
第10次：大数定律（一）；
第11次：大数定律（二）；
第12次：大数定律（三），结束。
参考书籍
Kai Lai Chung. A Course in Probability Theory;
Gerald B. Folland. Real Analysis: Modern Tech ...
