2021年概率论试题回忆及解答
本份试题是半年前概率论考题的回忆。
试题
一、设事件\(A,B\)的概率都为\(\dfrac{2}{3}\)，求事件\(A\cup B-(AB)\)的概率的最大值。
二、独立地投掷三个骰子，求第一个骰子和第二个骰子的点数之和与第三个骰子的点数相等的概率。
三、设\(X\sim\mathrm{Exp}(2)\)，写出\(X\)的密度函数，并求\(\mathbb{E} X^3\)。
四、设\(X\sim\mathcal{N}(0,1)\)，写出\(X\)的密度函数，并求\(\mathbb{E}\exp\left(\dfrac{16}{50}X^2\right)\)。
五、设\(X\sim\mathcal{U}[0,1]\)，求\(Y=\dfrac{1}{1+X}\)的密度函数。
六、设\((X,Y)\sim\mathcal{N}(a_1,a_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;r)\)，求\(X+Y\)与\(X-Y\)独立的充要条件。
七、设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)独立，且\(\mathrm{Var} X_i=\sigma_i^2,1\le i\le n\)，再设\(\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\)非负，且\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\omega_i=1\)，求使得\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\omega_iX_i\)的方差最小的权重\(\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\)。
八、设\(X\)的特征函数\(f(t)=\cos^{2021}(t)\)，求\(X\)的期望与方差。
九、叙述并证明Levy中心极限定理。
解答
一、注意到 \[ \mathbb{P}(A\cup B-(AB))=\mathbb{P}(A\cup B)-\mathbb{P}(AB)\le 1-\mathbb{P}(AB), \] 以及 \[ \mathbb{P}(A\cup B-(AB))=\mathbb{P}(A-B)+\mathbb{P}(B-A)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-2\mathbb{P}(AB), \] 解得\(\mathbb{P}(AB)\geq\dfrac{1}{3}\)，从而\(\mathbb{P}(A\cup B-(AB))\le\dfrac{2}{3}\)。一种取等的方式如下：设\(\Omega=[0,1]\)，\(A=\left[0,\dfrac{2}{3}\right]\)，\(B=\left[\dfrac{1}{3},1\right]\)，则\(\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(B)=\dfrac{2}{3}\)，\(\mathbb{P}(A\cup B-(AB))=\dfrac{2}{3}\)。
二、设三个骰子的点数分别为\(X,Y,Z\)，由全概率公式得 \[ \begin{aligned} \mathbb{P}(X+Y=Z)&=\sum_{k=1}^{6}\mathbb{P}(X+Y=k|Z=k)\\ &=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{36}\times(1+2+3+4+5)\\ &=\dfrac{5}{72}. \end{aligned} \]
三、密度函数 \[ p(x)= \begin{cases} 0,&x\le 0,\\ 2\mathrm{e}^{-2x},&x>0, \end{cases} \] 计算得 \[ \mathbb{E}X^3=\int_0^{+\infty}2x^3\mathrm{e}^{-2x}\mathrm{d}x=\dfrac{16}{3}. \]
四、密度函数 \[ p(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x^2}, \] 计算得 \[ \mathbb{E}\exp\left(\dfrac{16}{50}X^2\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\mathrm{e}^{-\frac{9}{50}x^2}\mathrm{d}x=\dfrac{5}{3}. \]
五、由\(y=\dfrac{1}{1+x}\)得\(x=\dfrac{1}{y}-1\)，\(\mathrm{d}x=-\dfrac{\mathrm{d}y}{y^2}\)，因此 \[ q(y)=\dfrac{1}{y^2},\quad \dfrac{1}{2}\le y\le 1. \]
六、由\((X,Y)\)服从正态分布知\((X-Y,X+Y)\)服从正态分布，从而独立等价于不相关。计算得 \[ \mathrm{Cov}(X-Y,X+Y)=\mathrm{Var} X-\mathrm{Var}Y=\sigma_1^2-\sigma_2^2, \] 因此\(X-Y\)与\(X+Y\)独立的充要条件是\(\sigma_1^2=\sigma_2^2\)。
七、记\(Y=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\omega_iX_i\)，计算得 \[ \mathrm{Var}Y=\mathrm{Var}\left(\sum_{i=1}^{n}\omega_iX_i\right)=\sum_{i=1}^{n}\omega_i^2\sigma_i^2. \] 由Cauchy不等式得 \[ \left(\sum_{i=1}^{n}\omega_i^2\sigma_i^2\right)\cdot\left(\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{\sigma_i^2}\right)\geq\left(\sum_{i=1}^{n}\omega_i\right)^2=1, \] 从而 \[ \mathrm{Var}Y\geq\dfrac{1}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{\sigma_i^2}}, \] 取等时\(\omega_i^2\sigma_i^4=\omega_j^2\sigma_j^4\)，解得\(\omega_j=\left.\dfrac{1}{\sigma_j^2}\middle/\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{\sigma_i^2}\right.\)。
八、计算得\(\mathbb{E}X=\dfrac{f'(0)}{i}=0\)，\(\mathbb{E}X^2=\dfrac{f''(0)}{i^2}=2021\)，因此\(\mathrm{Var}X=\mathbb{E}X^2=2021\)。
九、设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)独立同分布，且\(\mathbb{E}X=\mu\)，\(0<\mathrm{Var}X=\sigma^2<\infty\)，则 \[ \dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n-n\mu}{\sqrt{n}\cdot \sigma}\xrightarrow{d}\mathcal{N}(0,1). \] 计算得 \[ \begin{aligned} \mathbb{E}\exp\left\{it\cdot\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n-n\mu}{\sqrt{n}\cdot \sigma}\right\}&=\mathbb{E}\exp\left\{it\cdot\sum_{i=1}^{n}\dfrac{X_i-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right\}\\ &=\prod_{i=1}^{n}\mathbb{E}\exp\left\{it\cdot\dfrac{X_i-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right\}\\ &=\left(\mathbb{E}\exp\left\{it\cdot\dfrac{X-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right\}\right)^n\\ &=\left(1-\dfrac{t^2}{n}+o\left(\dfrac{t^2}{n}\right)\right)^n\\ &\to\exp\left\{-\dfrac{t^2}{2}\right\}, \end{aligned} \] 右式即为\(\mathcal{N}(0,1)\)的特征函数，从而上式依分布收敛到\(\mathcal{N}(0,1)\)。
