所谓的Riemann-Lebesgue引理，说的是这样的结论：

定理1 设\(f\in\mathscr{R}[a,b]\)（这里\(a\)可以是\(-\infty\)，\(b\)可以是\(+\infty\)），那么 \[ \displaystyle\lim_{\lambda\to\infty}\int_a^bf(t)e(-\lambda t){\rm{d}}t=0. \]

注 在这里\(e(t)={\rm{e}}^{2\pi ti}\)，并且根据Euler公式有\(e(t)=\cos(2\pi t)+i\sin(2\pi t)\)，因此可以将\(e(t)\)用三角函数表示。\(\mathscr{R}[a,b]\)表示全体在\([a,b]\)上可积或绝对可积的函数所构成的集合。可积的含义是积分\(\displaystyle\int_a^b|f(t)|{\rm{d}}t\)收敛。绝对可积的含义是积分\(\displaystyle\int_a^b|f(t)|{\rm{d}}t\)收敛，这里包括了\(f(x)\)存在奇点和\([a,b]\)是无穷区间的情形。

证明 首先，设\([a,b]\)是有限区间。

第一步，设\(f\)在\([a,b]\)上可积，则\(f\)在\([a,b]\)上有界，设\(|f(x)|\le M\)。取\([a,b]\)的一组划分 \[ a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b, \] 其中\(x_j=a+\dfrac{b-a}{m}j\)，再设\(f\)在\([x_{j-1},x_j]\)上的振幅为\(\omega_j\)，则有 \[ \begin{aligned} \left|\int_a^bf(t)e(-\lambda t){\rm{d}}t\right|&=\left|\sum_{j=1}^m\int_{x_{j-1}}^{x_j}f(t)e(-\lambda t){\rm{d}}t\right|\le\sum_{j=1}^m\left|\int_{x_{j-1}}^{x_j}f(t)e(-\lambda t){\rm{d}}t\right|\\ &\le\sum_{j=1}^m\left|\int_{x_{j-1}}^{x_j}(f(t)-f(x_j))e(-\lambda t){\rm{d}}t\right|+\sum_{j=1}^m\left|\int_{x_{j-1}}^{x_j}f(x_j)e(-\lambda t){\rm{d}}t\right|, \end{aligned} \] 其中根据\(|e(-\lambda t)|\le1\)得 \[ \sum_{j=1}^m\left|\int_{x_{j-1}}^{x_j}(f(t)-f(x_j))e(-\lambda t){\rm{d}}t\right|\le\sum_{j=1}^m\omega_j\Delta x_j; \] 另一方面，直接计算得 \[ \sum_{j=1}^m\left|\int_{x_{j-1}}^{x_j}f(x_j)e(-\lambda t){\rm{d}}t\right|=\sum_{j=1}^m\left|f(x_j)\cdot\frac{e(-\lambda x_{j})-e(-\lambda x_{j-1})}{-2\pi \lambda i}\right|\le\frac{mM}{\pi|\lambda|}, \] 设\(|\lambda|>1\)，取\(M=\left[\sqrt{|\lambda|}\right]\)，代入得 \[ \left|\int_a^bf(t)e(-\lambda t){\rm{d}}t\right|\le\sum_{j=1}^m\omega_j\Delta x_j+\frac{m}{\pi\sqrt{|\lambda|}}, \] 当\(\lambda\to\infty\)时，右式可以任意小，进而知\(\displaystyle \lim_{\lambda\to\infty}\int_a^bf(t)e(-\lambda t){\rm{d}}t=0\)。

第二步，设\(f\)在\([a,b]\)上绝对可积，不妨设其在\([a,b]\)上的唯一奇点为\(a\)，则对任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta>0\)，使得\(\displaystyle\int_a^{a+\delta}|f(t)|{\rm{d}} t<\varepsilon\)，代入得 \[ \begin{aligned} \left|\int_a^bf(t)e(-\lambda t){\rm{d}}t\right|&\le\left|\int_a^{a+\delta}f(t)e(-\lambda t)\rm{d}{t}\right|+\left|\int_{a+\delta}^bf(t)e(-\lambda t){\rm{d}}t\right|\\ &\le \int_a^{a+\delta}|f(t)|{\rm{d}} t+\left|\int_{a+\delta}^bf(t)e(-\lambda t){\rm{d}}t\right|\\ &\le\varepsilon +\left|\int_{a+\delta}^bf(t)e(-\lambda t){\rm{d}}t\right|, \end{aligned} \] 其中根据第一步知\(\displaystyle\left|\int_{a+\delta}^bf(t)e(-\lambda t){\rm{d}}t\right|\)可以任意小，进而知\(\displaystyle\lim_{\lambda\to\infty}\int_a^bf(t)e(-\lambda t){\rm{d}}t=0\)。其次，设\([a,b]\)是无穷区间，不妨设\(b=+\infty\)，再设\(f\)在\([a,+\infty)\)上绝对可积，则对任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(A>0\)，使得 \[ \int_A^{+\infty}|f(t)|{\rm{d}}t<\varepsilon, \] 代入得 \[ \begin{aligned} \left|\int_a^{+\infty}f(t)e(-\lambda t){\rm{d}}t\right|&\le\left|\int_a^{A}f(t)e(-\lambda t)\rm{d}{t}\right|+\left|\int_{A}^{+\infty}f(t)e(-\lambda t){\rm{d}}t\right|\\ &\le \left|\int_a^{A}f(t)e(-\lambda t)\rm{d}{t}\right|+\int_A^{+\infty}|f(t)|{\rm{d}}t\\ &\le \left|\int_a^{A}f(t)e(-\lambda t)\rm{d}{t}\right|+\varepsilon, \end{aligned} \] 其中根据第一步知\(\displaystyle\left|\int_a^{A}f(t)e(-\lambda t)\rm{d}{t}\right|\)可以任意小，进而知\(\displaystyle\lim_{\lambda\to\infty}\int_a^{+\infty}f(t)e(-\lambda t){\rm{d}}t=0\)。

推论2 设\(f\in\mathscr{R}[a,b]\)（这里\(a\)可以是\(-\infty\)，\(b\)可以是\(+\infty\)），那么 \[ \lim_{\lambda\to\infty}\int_a^bf(t)\cos(\lambda t){\rm{d}}t=0, \] 以及 \[ \lim_{\lambda\to\infty}\int_a^bf(t)\sin(\lambda t){\rm{d}}t=0. \]

推论3 设\(f\in\mathscr{R}[a,b]\)（这里\(a\)可以是\(-\infty\)，\(b\)可以是\(+\infty\)），那么 \[ \lim_{n\to\infty}\hat f(n)=0, \] 其中\(\hat f(n)\)为\(f\)的Fourier系数。

变式4 设\(f\in\mathscr{R}[0,1]\)，那么 \[ \lim_{n\to\infty}\int_0^1t^nf(t){\rm{d}}t=0. \]

注 可以利用相同的方法证明。

推论5 取\(f(x)=\dfrac{1}{1+x}\)可得\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{x^n}{1+x}{\rm{d}}x=0\)。