正态总体样本均值与样本方差的分布
本文研究的是正态总体的样本均值与样本方差，将会得到一系列简单但是重要的结论。
以下设\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)是来自正态总体\(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\)的样本，其样本均值
\[
\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,
\] 样本方差 \[
s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x}).
\]
准备工作 记\(\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\)，则\(\boldsymbol{x}\)的密度函数，也即\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的联合密度函数 \[
\begin{aligned}
p(x_1,x_2,\cdots,x_n)&=\dfrac{1}{(2\pi\sigma^2)^{\frac{n}{2}}}\cdot\exp\left\{-\sum_{i=1}^{n}\dfrac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}\\
&=\df ...
实分析视角下的概率论
本文摘自实分析期末复习材料。
概率空间
通常，用\(\Omega\)表示样本空间，\(\omega\in\Omega\)为样本点。样本空间的子集\(A\subset\Omega\)称为事件，事件所构成的集合可以用\(\mathscr{F}\)表示。
定义1.1（概率） 设\(\Omega\)是样本空间，\(\mathscr{F}\)是\(\Omega\)上的\(\sigma\)-域，\(\mathbb{P}\)是\(\{\Omega,\mathscr{F}\}\)上的测度，且满足\(\mathbb{P}\{\Omega\}=1\)，则\(\mathbb{P}\)为概率，\(\{\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P}\}\)为概率空间。
概率其实就是测度，只是外加了\(\mathbb{P}\{\Omega\}=1\)这个条件。在有限的测度下，许多问题都变得非常简单。另外，设\(A\in\mathscr{F}\)，则\(\mathbb{P}\{A\}\)也被称为事件\(A\)发生的概率。以下设\(\{\Omega,\mathscr{F},\mathb ...
Visual Studio Code配置LaTeX教程
众所周知，Visual Studio
Code是程序员的积木。本篇教程将会讲解如何在VS
Code上配置LaTeX，这也是笔者最推荐的LaTeX编辑方式。
关于LaTeX教程，详见LaTeX：从入门到日常使用。
第一步 安装TeX Live，在LaTeX：从入门到日常使用中有TeX
Live的镜像下载地址。
第二步 下载并安装VS Code，请到官网选择自己合适的版本。安装后可以安装语言包Chinese
(Simplified) (简体中文) Language Pack for Visual Studio
Code。如果已经下载好VS Code的话，可以跳过本步。
第三步 安装扩展LaTeX
Workshop和LaTeX
language support。这两个扩展提供了对LaTeX的支持。
第四步 在VS
Code中按下Ctrl+Shift+P，点击首选项：打开设置 (json)，需要在这里添加配置文件。为了在配置的时候不出错，在这里需要了解settings.json的结构：
- 文件开头和结尾用一对{}围起来，里面是扩展的 ...
iGEM中的常微分方程模型
根据笔者去年参加iGEM的经验，整理得到本文，供后面参加iGEM并负责建模的同学参考。
本文中建模使用的编程语言是MATLAB。
Logistic方程
Logistic方程可以用于种群动力学模型的建模。设\(N\)是某种生物的种群密度，则 \[
\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=rN\cdot\left(1-\dfrac{N}{K}\right),
\] 其中\(r\)是生长率，\(K\)是环境容纳量。该方程可以求出解析解 \[
N(t)=\dfrac{KN_0\cdot \mathrm{e}^{rt}}{K+N_0\cdot(\mathrm{e}^{rt}-1)},
\] 其中\(N_0=N(0)\)是初始数量。该方程可以应用于：
给定生长率\(r\)和环境容纳量\(K\)，预测种群数量的变化，需要使用ode45函数。
给定种群数量随时间变化的数据，计算生长率并预测种群的最大数量，需要使用lsqcurvefit函数。
物质守恒定律
所谓的物质守恒定律，说的是物质不会凭空消失，也不会凭空产生，只能由一 ...
LaTeX：从入门到日常使用
前言：排版工具与书写工具的讨论
LaTeX是一种“非所见即所得”的排版系统，用户需要输入特定的代码，保存在后缀为.tex的文件中，通过编译得到所需的pdf文件，例如以下代码：
1234567\documentclass{article}\begin{document}Hello, world!\end{document}
最后输出的结果是一个pdf文件，内容是“Hello, world!”。
如何理解“非所见即所得”呢？在这里举个“所见即所得”的例子：Word。Word的界面就是一张A4纸，输入的时候是什么样子，最后呈现出来就是什么样子。这给了我们极高的自由度，也非常容易上手，但是有如下问题：
对于对细节不敏感的用户，Word的排版常常会在细节存在问题，比如两段话之间行间距不同、字体不同、标题样式不同等；
对于撰写论文的用户，Word的标题、章节、图表、参考文献等无法自动标号，也很难在正文中引用；
对于有公式输入需求的用户，Word自带的公式不稳定，而公式插件效果常常不好。
相比之下，使用LaTeX ...
