本节将介绍Doob鞅收敛定理及其推论。

定理1（Doob收敛定理）设\(\{X_n\}\)为上鞅，如果 \[ \sup_{n\geq 0}\mathbb{E}|X_n|<+\infty, \] 则当\(n\to\infty\)时，\(X_n\mathrm{a.s.}\)收敛于一可积随机变量\(X_{\infty}\)。进一步，若\(\{X_n\}\)为非负上鞅，则对任意的\(n\geq 0\)，有 \[ \mathbb{E}(X_{\infty}|\mathscr{F}_n)\le X_n,\quad\mathrm{a.s.}. \]

证明 设\(a, b\in\mathbb{Q}\)，记 \[ U_a^b=\lim_{k\to\infty}U_a^b(k) \] 表示\(\{X_n,n\geq 0\}\)上穿区间\([a,b]\)的次数，由上穿不等式知 \[ \mathbb{E}U_a^b\le\dfrac{1}{b-a}\cdot\sup_{n\geq 0}\mathbb{E}(X_n-a)^-\le\dfrac{1}{b-a}\cdot\left(a+\sup_{n\geq 1}\mathbb{E}X_n^-\right)<+\infty, \] 从而\(U_a^b\)可积，并且\(U_a^b<+\infty,\mathrm{a.s.}\)。记 \[ W_{a,b}=\left\{\liminf_{n\to\infty} X_n<a\right\}\cup\left\{\limsup_{n\to\infty}X_n>b\right\},\quad W=\bigcup_{a,b\in\mathbb{Q}}W_{a,b}. \] 对于\(W_{a,b}\)，其表示\(\{X_n\}\)的下极限小于\(a\)且上极限大于\(b\)的部分，在这两个条件下, \(\{X_n\}\)极限不存在。而对于\(W\)，其表示了\(X_n\)极限不存在的所有点。由\(W_{a,b}\subset\{U_a^b=+\infty\}\)以及\(U_a^b<+\infty,\mathrm{a.s.}\)，知\(\mathbb{P}(W_{a,b})=0\)，从而\(\mathbb{P}(W)=0\)。令 \[ X_{\infty}(\omega)=\begin{cases} 0,&\omega\in W, \\ \displaystyle\lim_{n\to\infty}X_n(\omega),&\omega\in\Omega\setminus W, \end{cases} \] 则\(X_n\to X_{\infty},\mathrm{a.s.}\)，且由\(\{X_n\}\)可积知\(X_{\infty}\)可积。进一步，设\(\{X_n\}\)是非负上鞅，对任意的\(n\geq 0\)，由Fatou引理得 \[ \mathbb{E}(X_{\infty}|\mathscr{F}_n)=\mathbb{E}\left(\lim_{k\to\infty}X_k\middle|\mathscr{F}_n\right)\le\liminf_{k\to\infty}\mathbb{E}(X_k|\mathscr{F}_n)\le\mathbb{E}(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)\le X_n,\quad\mathrm{a.s.}. \] 也即\(\mathbb{E}(X_{\infty}|\mathscr{F}_n)\le X_n,\mathrm{a.s.}\)。

命题2 设\(\{X_n\}\)为上鞅，如果\(\{X_n\}\)一致可积，也即 \[ \lim_{c\to\infty}\sup_{n\geq 0}\mathbb{E}(|X_n|\cdot I_{|X_n|\geq c})=0, \] 则\(X_n\mathrm{a.s.}\)且\(L^1\)收敛于一可积随机变量\(X_\infty\)，且 \[ \mathbb{E}(X_{\infty}|\mathscr{F}_n)\le X_n,\quad\mathrm{a.s.}. \]

证明 由\(\{X_n\}\)一致可积知\(\displaystyle\sup_{n\geq 0}\mathbb{E}|X_n|<+\infty\)，应用Doob收敛定理，存在可积随机变量\(X_{\infty}\)，使得\(X_n\to X_{\infty},\mathrm{a.s.}\)，且 \[ \mathbb{E}(X_{\infty}|\mathscr{F}_n)\le X_n,\quad\mathrm{a.s.}. \] 并且由一致可积性知\(X_n\xrightarrow{L^1}X_{\infty}\)。