本节将对离散时间鞅定义停时，并介绍上穿不等式。

定义1 设\(\{\mathscr{F}_n\}\)是上升的\(\sigma\)-域，也即对任意的\(n\geq 0\)，都有\(\mathscr{F}_n\subset\mathscr{F}_{n+1}\)。随机变量\(T:\Omega\to\{0,1,2,\cdots\}\)，且对任意的\(n\geq 0\)，都有 \[ \{T=n\}\in\mathscr{F}_n, \] 则称\(T\)是\(\{\mathscr{F}_n\}\)的停时。

事实上，注意到\(\{\mathscr{F}_n\}\)是上升的，在这里\(\{T=n\}\in\mathscr{F}_n\)对任意的\(n\geq 0\)成立，等价于\(\{T\le n\}\in\mathscr{F}_n\)对任意的\(n\geq 0\)成立。

例2 设\(T\)表示赌徒停止赌博的时间，\(T=n\)表示在经过\(n\)次赌博后赌徒停止赌博，则事件\(\{T=n\}\)取决于前\(n\)次赌博中所获得的信息\(\mathscr{F}_n\)。

定义3 设\(T\)是停时，记 \[ \mathscr{F}_{\infty}=\sigma\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\mathscr{F}_n\right),\quad\mathscr{F}_T=\{A\in\mathscr{F}_{\infty}:A\cap\{T=n\}\in\mathscr{F}_n,\forall n\geq 0\}, \] 称\(\mathscr{F}_T\)为\(T\)前\(\sigma\)-域。

关于停时和\(T\)前\(\sigma\)-域，有一些基本的性质。

命题4 设\(S, T\)是停时，则\(S+T\)是停时。

证明 根据 \[ \{S+T=n\}=\bigcup_{i=0}^{n}\{S=i,T=n-i\}=\bigcup_{i=0}^{n}\{S=i\}\{T=n-i\}\in\mathscr{F}_n, \] 知\(S+T\)是停时。

命题5 设\(S, T\)是停时，\(S\le T\)，则\(\mathscr{F}_S\subset\mathscr{F}_T\)。

证明 任取\(A\in\mathscr{F}_S\)，则对任意的\(n\geq 0\)，都有 \[ A\cap\{S\le n\}=A\cap\{S\le T\}\cap\{T=n\}\in\mathscr{F}_n, \] 从而\(A=A\cap\{S\le T\}\in\mathscr{F}_T\)。

定理6（Doob停止定理） 设\(S, T\)是有界停时，且\(S\le T\)。

（1）设\(\{X_n\}\)是鞅，则\(\mathbb{E}(X_T|\mathscr{F}_S)=X_S,\mathrm{a.s.}\)；

（2）设\(\{X_n\}\)是上鞅，则\(\mathbb{E}(X_T|\mathscr{F}_S)\le X_S,\mathrm{a.s.}\)。

证明 对于上鞅的情形，设\(\{X_n\}\)是上鞅，\(S\le T\le N\)，任取\(A\in\mathscr{F}_S\)。首先设\(T=S+1\)，对任意的\(0\le i\le N\)，记 \[ A_i=A\cap[S=i]\cap[T\geq i]\in\mathscr{F}_i. \] 利用上鞅的期望的单调性，有 \[ \int_A(X_S-X_T)\mathrm{d}\mathbb{P}=\sum_{i=0}^{N}\int_{A_i}(X_{i}-X_{i+1})\mathrm{d}\mathbb{P}\geq 0\implies\int_AX_S\mathrm{d}\mathbb{P}\geq\int_AX_T\mathrm{d}\mathbb{P}; \] 接下来设\(T>S+1\)，令\(R_i=S+i, 1\le i\le T-S-1\)，则\(S\le R_1\le R_2\le\cdots\le T\)，且它们之间间隔为\(1\)。应用上式可得 \[ \int_A X_S\mathrm{d}\mathbb{P}\geq\int_A X_{R_1}\mathrm{d}\mathbb{P}\geq\int_A X_{R_2}\mathrm{d}\mathbb{P}\geq\cdots\geq\int_A X_T\mathrm{d}\mathbb{P}. \] 从而，对任意的\(S\le T\)，及对任意的\(A\in\mathscr{F}_S\)，都有 \[ \int_AX_S\mathrm{d}\mathbb{P}\geq\int_AX_T\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_A\mathbb{E}(X_T|\mathscr{F}_S)\mathrm{d}\mathbb{P}, \] 这便说明了\(\mathbb{E}(X_T|\mathscr{F}_S)\le X_S,\mathrm{a.s.}\)。鞅的情形同理可证。

最后，我们将介绍鞅的上穿不等式，为此引入一些记号。对于上鞅\(\{X_n\}\)，记\(U_a^b(k)\)表示\(\{X_1,X_2,\cdots,X_k\}\)上穿区间\([a,b]\)的次数。为了更精确地描述\(U_a^b(k)\)，记 \[ T_0=\inf\{n\geq 0, X_n\le a\},\quad T_1=\inf\{n> T_0, X_n\geq b\}, \] 以及 \[ T_{2i}=\inf\{n>T_{2i-1}|X_n\le a\},\quad T_{2i+1}=\inf\{n>T_{2i}|X_n\geq b\}, \] 则\(T_{2i}\)表示第\(i+1\)上穿区间\([a,b]\)的开始时间，而\(T_{2i+1}\)表示第\(i+1\)上穿区间\([a,b]\)的结束时间，并且\(\{T_n,n\geq 0\}\)为递增的停时序列。从而， \[ \{U_a^b(k)=i\}=\{T_{2i-1}<k<T_{2i+1}\}\in\mathscr{F}_k, \] 也即\(U_a^b(k)\)是关于\(\mathscr{F}_k\)可测的随机变量。

定理7（上穿不等式）设\(\{X_n\}\)是上鞅，\(U_a^b(k)\)表示\(\{X_1,X_2,\cdots,X_k\}\)上穿区间\([a,b]\)的次数，则 \[ \mathbb{E} U_a^b(k)\le\dfrac{1}{b-a}\cdot\mathbb{E}[(X_k-a)^-]. \]

证明 由\(\{X_n\}\)是上鞅知\(\mathbb{E}X_{T_{2i+1}\wedge k}\le\mathbb{E}X_{T_{2i}\wedge k}\)，从而 \[ \begin{aligned} 0&\geq\mathbb{E}(X_{T_{2i+1}\wedge k}-X_{T_{2i}\wedge k})\\ &=\mathbb{E}(X_{T_{2i+1}\wedge k}-X_{T_{2i}\wedge k})\cdot\left(I_{\{T_{2i}\le k\le T_{2i+1}\}}+I_{\{k\geq T_{2i+1}\}}\right)\\ &\geq\mathbb{E}(X_k-a)\cdot I_{\{T_{2i}\le k\le T_{2i+1}\}}+(b-a)\cdot\mathbb{E}I_{\{k\geq T_{2i+1}\}}. \end{aligned} \] 由于\(\{U_a^b(k)\geq i+1\}\subset\{k\geq T_{2i+1}\}\)，并且\(\{2i\le k\le 2i+1\}\subset\{U_a^b(k)=i\}\)，因此 \[ (b-a)\cdot\mathbb{P}(U_a^b(k)\geq i+1)\le\mathbb{E}(X_k-a)^-\cdot I_{\{U_a^b(k)=i\}}, \] 在上式中对\(i\)进行求和，可得 \[ \mathbb{E}U_a^b(k)=\sum_{i=0}^{\infty}\mathbb{P}(U_a^b(k)\geq i+1)\le\dfrac{1}{b-a}\cdot\mathbb{E}(X_k-a)^-. \] 这便完成了定理的证明。