基于事件的独立性, 我们可以探讨随机变量的独立性. 在此之前, 我们希望将随机变量的概念延拓到一般的随机元(参考程士宏的定义)上, 从而能够将随机变量、随机向量和随机过程的讨论放在一起.

定义1 (随机元) 设\((\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\)是概率空间, \((\Omega',\mathscr{G})\)是可测空间, 函数\(X:\Omega\to\Omega'\), 且 \[ X^{-1}(\mathscr{A})\subset\mathscr{F}, \] 则称\(X\)是\((\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\)到\((\Omega',\mathscr{G})\)的随机元(在实变函数中被称为可测映射).

  • 若\((\Omega',\mathscr{G})=(\mathbb{R},\mathscr{B}_{\mathbb{R}})\), 则\(X\)是随机变量;
  • 若\((\Omega',\mathscr{G})=(\mathbb{R}^n,\mathscr{B}_{\mathbb{R}^n})\), 则\(X\)是随机向量;
  • 若\((\Omega',\mathscr{G})=(\mathbb{R}^{\infty},\mathscr{B}_{\mathbb{R}^{\infty}})\), 则\(X\)是随机过程.

命题2 设随机元\(X:(\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\to(\Omega',\mathscr{G})\), 则 \[ \sigma(X):=X^{-1}(\mathscr{G}) \] 是\(\sigma\)-域.

证明 首先验证对补的封闭性. 设\(A\in\sigma(X)\), 则存在\(B\in\mathscr{G}\), 使得\(A=X^{-1}(B)\). 由\(B^C\in\mathscr{G}\), 知 \[ A^C=\left(X^{-1}(B)\right)^C=X^{-1}\left(B^C\right)\in\sigma(X). \] 接下来验证对可数交的封闭性. 设\(\{A_n\}\subset\sigma(X)\), 则存在\(\{B_n\}\subset\mathscr{G}\), 使得对任意的\(n\geq 1\), 都有\(A_i=X^{-1}(B_i)\). 由\(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}B_i\in\mathscr{G}\), 知 \[ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_i=\bigcup_{n=1}^{\infty}X^{-1}(B_i)=X^{-1}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}B_i\right)\in\sigma(X). \] 从而\(\sigma(X)\)是\(\sigma\)-域.

设随机元\(X:(\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\to(\Omega_1,\mathscr{G}_1), Y:(\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\to(\Omega_2,\mathscr{G}_2)\), 我们可以由\(X^{-1}(\mathscr{G}_1)\)和\(Y^{-1}(\mathscr{G}_2)\)分别生成\(\mathscr{F}\)的子\(\sigma\)-域, 也即\(\sigma(X)\)和\(\sigma(Y)\). 联想到两个\(\sigma\)-域的独立性, 我们定义:

  • 若\(\sigma(X)\)与\(\sigma(Y)\)独立, 则称随机元\(X\)与随机元\(Y\)独立;
  • 将上述定义写得更清楚一点. 更具体地说, 若随机元\(X\)与随机元\(Y\)独立, 则对任意的\(A\in\sigma(X), B\in\sigma(Y)\), 都有事件\(A\)与事件\(B\)独立. 其中, \(A\in\sigma(X)=X^{-1}(\mathscr{G}_1)\)意味着\(C:=X(A)\in\mathscr{G}_1\), 从而\(A=(X\in C)\); 类似地, \(B\in\sigma(Y)=Y^{-1}(\mathscr{G}_2)\)意味着\(D:=Y(B)\in\mathscr{G}_2\), 从而\(B=(Y\in D)\). 由\(A\)与\(B\)的任意性, 知\(C\)与\(D\)也是任意的. 从而, 我们可以给出更具体的定义: 若对任意的\(C\in\mathscr{G}_1\), \(D\in\mathscr{G}_2\), 都有事件\((X\in C)\)与事件\((Y\in D)\)独立, 也即 \[ \mathbb{P}(X\in C,Y\in D)=\mathbb{P}(X\in C)\cdot\mathbb{P}(Y\in D), \] 随机元\(X\)与随机元\(Y\)独立.

设\(1\le i\le n\), 随机元\(X_i:(\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\to(\Omega_i,\mathscr{G}_i)\), 在这里同样考虑它们生成的\(\sigma\)-域\(\sigma(X_1), \sigma(X_2),\cdots, \sigma(X_n)\), 我们定义:

  • 若\(\sigma(X_1), \sigma(X_2),\cdots, \sigma(X_n)\)独立, 则称随机元\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)独立;
  • 类似上面的过程, 若随机元\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)独立, 则对任意的\(A_1\in\sigma(X_1), A_2\in\sigma(X_2), \cdots, A_n\in\sigma(X_n)\), 都有事件\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)独立. 设\(1\le i\le n\), 则\(A_i\in\sigma(X_i)=X_i^{-1}(\mathscr{G}_i)\)意味着\(B_i:=X_i(A_i)\in\mathscr{G}_i\), 从而\(A_i=(X_i\in B_i)\). 从而, 可以定义: 对任意的\(B_1\in\mathscr{G}_1, B_2\in\mathscr{G}_2, \cdots, B_n\in\mathscr{G}_n\), 都有事件\((X_1\in B_1), (X_2\in B_2), \cdots,(X_n\in B_n)\)独立, 或者简单地写成 \[ \mathbb{P}(X_1\in B_1,X_2\in B_2,\cdots, X_n\in B_n)=\mathbb{P}(X_1\in B_1)\cdot\mathbb{P}(X_2\in B_2)\cdots\mathbb{P}(X_n\in B_n), \] 则称随机元\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)独立. 注意到\(B_i\)可以取到\(\Omega_i\), 从而上面的等式蕴含了事件\((X_1\in B_1), (X_2\in B_2), \cdots,(X_n\in B_n)\)是独立的.