有限维乘积空间

我们接下来探讨的问题是: 独立随机变量是否是存在的? 为了严格地说明这一点, 钟开莱书上引入了乘积空间的概念, 而为了更方便理解, 以下使用的是程士宏书上的定义.

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定义1 (乘积空间) 设$n\ge 2$, $({\mathrm{\Omega }}_i,{\mathcal{F}}_i)(1\le i\le n)$是可测空间, 记 $$\prod _{i=1}^n{\mathrm{\Omega }}_i:=\{({\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n):{\omega }_1\in {\mathrm{\Omega }}_1,{\omega }_2\in {\mathrm{\Omega }}_2,\cdots ,{\omega }_n\in {\mathrm{\Omega }}_n\}$$ 则${\displaystyle \prod _{i=1}^n{\mathrm{\Omega }}_i}$称为${\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2,\cdots ,{\mathrm{\Omega }}_n$的乘积空间; 再记 $$\mathcal{L}:=\{A_1\times A_2\times \cdots \times A_n:A_1\in {\mathcal{F}}_1,A_2\in {\mathcal{F}}_2,\cdots ,A_n\in {\mathcal{F}}_n\},\prod _{i=1}^n{\mathcal{F}}_i:=\sigma (\mathcal{L}),$$ 则${\displaystyle \prod _{i=1}^n{\mathcal{F}}_i}$称为${\mathcal{F}}_1,{\mathcal{F}}_2,\cdots ,{\mathcal{F}}_n$的乘积, $\left({\displaystyle \prod _{i=1}^n{\mathrm{\Omega }}_i,\prod _{i=1}^n{\mathcal{F}}_i}\right)$称为乘积可测空间.

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定义2 (投影) 设${\displaystyle \prod _{i=1}^n{\mathrm{\Omega }}_i}$是${\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2,\cdots ,{\mathrm{\Omega }}_n$的乘积空间, ${\omega }_i\in {\mathrm{\Omega }}_i$, 映射 $${\pi }_j({\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n)={\omega }_j$$ 称为从${\displaystyle \prod _{i=1}^n{\mathrm{\Omega }}_i}$到${\mathrm{\Omega }}_j$的.

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在上述定义的基础上, 可以在$({\mathrm{\Omega }}_i,{\mathcal{F}}_i)$上赋予概率测度${\mathbb{P}}_i$. 如果我们考虑概率空间$({\mathrm{\Omega }}_i,{\mathcal{F}}_i,{\mathbb{P}}_i)(1\le i\le n)$所生成的乘积可测空间$\left({\displaystyle \prod _{i=1}^n{\mathrm{\Omega }}_i,\prod _{i=1}^n{\mathcal{F}}_i}\right)$, 自然会想在其上赋予概率测度. 然而, 这一点是比较麻烦的. 为了方便, 我们首先考虑两个概率空间$({\mathrm{\Omega }}_1,{\mathcal{F}}_1,{\mathbb{P}}_1)$和$({\mathrm{\Omega }}_2,{\mathcal{F}}_2,{\mathbb{P}}_2)$的情形, 并记它们生成的乘积空间为$({\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2,{\mathcal{F}}_1\times {\mathcal{F}}_2)$. 我们不加证明地给出Fubini定理的内容, 以及有限维乘积概率空间的存在性.

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定理3 (Fubini定理) 设$({\mathrm{\Omega }}_1,{\mathcal{F}}_1,{\mathbb{P}}_1)$和$({\mathrm{\Omega }}_2,{\mathcal{F}}_2,{\mathbb{P}}_2)$是概率空间.

1. 在$({\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2,{\mathcal{F}}_1\times {\mathcal{F}}_2)$上存在唯一的概率${\mathbb{P}}_1\times {\mathbb{P}}_2$, 使得对任意的$A_1\in {\mathcal{F}}_1$, $A_2\in {\mathcal{F}}_2$, 都有 $$({\mathbb{P}}_1\times {\mathbb{P}}_2)(A_1\times A_2)={\mathbb{P}}_1(A_1)\cdot {\mathbb{P}}_2(A_2).$$ 这里的${\mathbb{P}}_1\times {\mathbb{P}}_2$称为${\mathbb{P}}_1$和${\mathbb{P}}_2$的乘积, $({\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2,{\mathcal{F}}_1\times {\mathcal{F}}_2,{\mathbb{P}}_1\times {\mathbb{P}}_2)$称为乘积概率空间.

2. 对$({\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2,{\mathcal{F}}_1\times {\mathcal{F}}_2,{\mathbb{P}}_1\times {\mathbb{P}}_2)$上的可积随机变量$X({\omega }_1,{\omega }_2)$, 有 $$\begin{array}{rl}{\int }_{X_1\times X_2}X\mathrm{d}({\mathbb{P}}_1\times {\mathbb{P}}_2)& ={\int }_{X_1}{\mathbb{P}}_1(\mathrm{d}{\omega }_1){\int }_{X_2}X({\omega }_1,{\omega }_2){\mathbb{P}}_2(\mathrm{d}{\omega }_2)\\ & ={\int }_{X_2}{\mathbb{P}}_2(\mathrm{d}{\omega }_2){\int }_{X_1}X({\omega }_1,{\omega }_2){\mathbb{P}}_1(\mathrm{d}{\omega }_1).\end{array}$$

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推论 设$n\ge 2$, $({\mathrm{\Omega }}_i,{\mathcal{F}}_i,{\mathbb{P}}_i)(1\le i\le n)$是概率空间, 则在$\left({\displaystyle \prod _{i=1}^n{\mathrm{\Omega }}_i,\prod _{i=1}^n{\mathcal{F}}_i}\right)$上存在唯一的概率测度${\displaystyle \prod _{i=1}^n{\mathbb{P}}_i}$, 使得对任意的$A_1\in {\mathcal{F}}_1,A_2\in {\mathcal{F}}_2,\cdots ,A_n\in {\mathcal{F}}_n$, 都有 $$\left(\prod _{i=1}^n{\mathbb{P}}_i\right)\left(\prod _{i=1}^n{A}_i\right)=\prod _{i=1}^n{\mathbb{P}}_i(A_i).$$ 这里的${\displaystyle \prod _{i=1}^n{\mathbb{P}}_i}$称为${\mathbb{P}}_1,{\mathbb{P}}_2,\cdots ,{\mathbb{P}}_n$的乘积, $\left({\displaystyle \prod _{i=1}^n{\mathrm{\Omega }}_i,\prod _{i=1}^n{\mathcal{F}}_i,\prod _{i=1}^n{\mathbb{P}}_i}\right)$称为乘积概率空间.

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在乘积概率空间的基础上, 我们来说明独立随机变量的存在性.

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例4 设$n\ge 2$, $({\mathrm{\Omega }}_i,{\mathcal{F}}_i,{\mathbb{P}}_i)(1\le i\le n)$是概率空间. 对$1\le i\le n$, 设$X_i$是$({\mathrm{\Omega }}_i,{\mathcal{F}}_i,{\mathbb{P}}_i)$上的随机变量, $B_i\in {\mathcal{F}}_i$, 则有 $$\left(\prod _{i=1}^n{\mathbb{P}}_i\right)(\prod _{i=1}^n(X_i\in B_i))=\prod _{i=1}^n{\mathbb{P}}_i(X_i\in B_i).$$ 设${\omega }_i\in {\mathrm{\Omega }}_i$, 记$\omega =({\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n)\in {\displaystyle \prod _{i=1}^n{\mathrm{\Omega }}_i}$, 考虑$\left({\displaystyle \prod _{i=1}^n{\mathrm{\Omega }}_i,\prod _{i=1}^n{\mathcal{F}}_i,\prod _{i=1}^n{\mathbb{P}}_i}\right)$上的随机变量 $${\tilde{X}}_i(\omega ):=X_i({\omega }_i),i=1,2,\cdots ,n,$$ 再任取${\tilde{B}}_1,{\tilde{B}}_2,\cdots ,{\tilde{B}}_n\in {\displaystyle \prod _{i=1}^n{\mathcal{F}}_i}$, 并设对任意的$1\le i\le n$, ${\tilde{B}}_i$在${\mathrm{\Omega }}_i$上的投影为$B_i$, 则有 $$\begin{array}{rl}& \left(\prod _{i=1}^n{\mathbb{P}}_i\right)({\tilde{X}}_1\in {\tilde{B}}_1,{\tilde{X}}_2\in {\tilde{B}}_2,\cdots ,{\tilde{X}}_n\in {\tilde{B}}_n)\\ & =\left(\prod _{i=1}^n{\mathbb{P}}_i\right)(\prod _{j=1}^n(X_j\in B_j))\\ & =\prod _{j=1}^n{\mathbb{P}}_j(X_j\in B_j)\\ & =\prod _{j=1}^n\left(\prod _{i=1}^n{\mathbb{P}}_i\right)({\tilde{X}}_j\in {\tilde{B}}_j),\end{array}$$ 因此${\tilde{X}}_1,{\tilde{X}}_2,\cdots ,{\tilde{X}}_n$是$\left({\displaystyle \prod _{i=1}^n{\mathrm{\Omega }}_i,\prod _{i=1}^n{\mathcal{F}}_i,\prod _{i=1}^n{\mathbb{P}}_i}\right)$上的独立随机变量.

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