事件的独立

以下设$(\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})$为概率空间, 首先讨论事件与事件$\sigma$-域的独立性(参考苏淳的定义).

设事件$A,B\in\mathscr{F}$, 若 \[ \mathbb{P}(AB)=\mathbb{P}(A)\cdot\mathbb{P}(B), \] 则称事件$A$与事件$B$独立;
设事件$A_1,A_2,\cdots,A_n\in\mathscr{F}$, 若对任意的$2\le k\le n$, 以及对任意的$1\le i_1\le i_2\le\cdots\le i_k\le n$, 都有 \[ \mathbb{P}(A_{i_1}A_{i_2}\cdots A_{i_k})=\mathbb{P}(A_{i_1})\cdot\mathbb{P}(A_{i_2})\cdots\mathbb{P}(A_{i_k}), \] 则称事件$A_1,A_2,\cdots,A_n$独立;
设事件列$\{A_n\}\subset\mathscr{F}$, 若对任意的$n\geq 2$, $\{A_n\}$中的$n$个事件都独立, 则称事件列$\{A_n\}$为独立事件列;
设子事件$\sigma$-域$\mathscr{A}\subset\mathscr{F}$, 事件$B\in\mathscr{F}$, 若对任意的$A\in\mathscr{A}$, 事件$A$与事件$B$独立, 也即 \[ \mathbb{P}(AB)=\mathbb{P}(A)\cdot\mathbb{P}(B),\quad\forall A\in\mathscr{A}, \] 则称事件$\sigma$-域$\mathscr{A}$与事件$B$独立;
设子事件$\sigma$-域$\mathscr{A},\mathscr{B}\subset\mathscr{F}$, 若对任意的$A\in\mathscr{A}, B\in\mathscr{B}$, 事件$A$与事件$B$独立, 也即 \[ \mathbb{P}(AB)=\mathbb{P}(A)\cdot\mathbb{P}(B),\quad\forall A\in\mathscr{A},\quad\forall B\in\mathscr{B}, \] 则称事件$\sigma$-域$\mathscr{A}$与事件$\sigma$-域$\mathscr{B}$独立;
设子事件$\sigma$-域$\mathscr{A}_1,\mathscr{A}_2,\cdots,\mathscr{A}_n\subset\mathscr{F}$, 若对任意的$A_1\in\mathscr{A}_1, A_2\in\mathscr{A}_2, \cdots, A_n\in\mathscr{A}_n$, 事件$A_1,A_2,\cdots,A_n$独立, 则称事件$\sigma$-域$\mathscr{A}_1,\mathscr{A}_2,\cdots,\mathscr{A}_n$独立.

我们也可以通过独立来生成$\sigma$-域.

命题1 设$B\in\mathscr{F}$, 则 \[ \mathscr{A}=\{A\in\mathscr{F}:\text{$A$与$B$独立}\} \] 为$\sigma$-域.

证明首先验证对补的封闭性. 设$A\in\mathscr{A}$, 则$A$与$B$独立, 也即$\mathbb{P}(AB)=\mathbb{P}(A)\cdot\mathbb{P}(B)$. 注意到$\Omega$的划分$\Omega=A\cup A^C$, 由概率的可加性得 \[ \mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(BA)+\mathbb{P}\left(BA^C\right)=\mathbb{P}(B)\cdot\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}\left(BA^C\right), \] 因此 \[ \mathbb{P}\left(BA^C\right)=\mathbb{P}(B)\cdot(1-\mathbb{P}(A))=\mathbb{P}(B)\cdot\mathbb{P}\left(A^C\right), \] 这便说明了$A^C$与$B$独立, 从而$A^C\in\mathscr{A}$. 接下来验证对有限并的封闭性, 在这里分为两步:

若$A_1,A_2,\cdots,A_n\in\mathscr{A}$互不相交, 则对任意的$1\le k\le n$, $A_k$与$B$独立, 由概率的可加性得 \[ \begin{aligned} \mathbb{P}\left(B\bigcup_{k=1}^{n}A_k\right)&=\mathbb{P}\left(\bigcup_{k=1}^{n}BA_k\right)=\sum_{k=1}^{n}\mathbb{P}(BA_k)\\ &=\mathbb{P}(B)\cdot\sum_{k=1}^{n}\mathbb{P}(A_k)=\mathbb{P}(B)\cdot\mathbb{P}\left(\bigcup_{k=1}^{n}A_k\right), \end{aligned} \] 这便说明了$\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}A_k$与$B$独立;
对于一般情形, 只需证明$n=2$的情况. 设$A_1,A_2\in\mathscr{A}$, 且$A_1\cap A_2\ne\varnothing$, 可以证明$A_1\cap A_2$与$B$独立.

最后验证对可数并的封闭性. 设$\{A_n\}\in\mathscr{A}$, 则对任意的$n\geq 1$, $A_n$与$B$独立. 构造集合$\displaystyle C_n=\bigcup_{k=1}^{n}A_k$, 则$\{C_n\}\in\mathscr{A}$单调上升, 且$\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\lim_{n\to\infty}C_n$. 此时$\{BC_n\}$也是单调上升的, 由概率的下连续性得 \[ \begin{aligned} \mathbb{P}\left(B\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)&=\mathbb{P}\left(\lim_{n\to\infty} BC_n\right)=\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(BC_n)=\mathbb{P}(B)\cdot\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(C_n)\\ &=\mathbb{P}(B)\cdot\mathbb{P}\left(\lim_{n\to\infty}C_n\right)=\mathbb{P}(B)\cdot\mathbb{P}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right), \end{aligned} \] 这便说明了$\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$与$B$独立, 从而$\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathscr{A}$. 从而$\mathscr{A}$是$\sigma$-域.

上述命题说明了独立性对交、并和补等运算的封闭性.