在解微分方程的时候，有一些特定的结构可以写成全微分的形式。

熟练地使用这些技巧，有助于找到解题的捷径。

基本组合的全微分 根据函数微分的加减乘除运算法则，容易得到以下关于微分的性质。

（1）\({\rm{d}}(x\pm y)={\rm{d}}x\pm{\rm{d}}y\)。

（2）\({\rm{d}}(xy)=x{\rm{d}}y+y{\rm{d}}x\)。

（3）\({\rm{d}}\left(\dfrac{y}{x}\right)=\dfrac{x{\rm{d}}y-y{\rm{d}}x}{x^2}\)。

事实上，在一些微分方程的求解中，经常需要用\(x+y\)、\(xy\)或\(\dfrac{y}{x}\)作换元。

常见函数的全微分 一些常见的二元函数的全微分如下所示。

（1）\({\rm{d}}\ln\left|xy\right|=\dfrac{x{\rm{d}}y+y{\rm{d}}x}{xy}\)。

（2）\({\rm{d}}\ln\left|\dfrac{y}{x}\right|=\dfrac{x{\rm{d}}y-y{\rm{d}}x}{xy}\)。

（3）\({\rm{d}}\arctan(xy)=\dfrac{x{\rm{d}}y+y{\rm{d}}x}{1+x^2y^2}\)。

（4）\({\rm{d}}\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)=\dfrac{x{\rm{d}}y-y{\rm{d}}x}{x^2+y^2}\)。

（5）\({\rm{d}}\ln\left|\dfrac{x+y}{x-y}\right|=2\cdot\dfrac{y{\rm{d}}x-x{\rm{d}}y}{x^2-y^2}\)。

在这里，若出现形如\(x{\rm{d}}y+y{\rm{d}}x\)的结构，则需要考虑含\(xy\)的二元函数。

而若出现\(x{\rm{d}}y-y{\rm{d}}x\)的结构，则需要考虑含\(\dfrac{y}{x}\)的二元函数。

指数形式的全微分 一些含指数的二元函数的全微分如下所示。

（1）\({\rm{d}}(y{\rm{e}}^x)=({\rm{d}}y+y{\rm{d}}x){\rm{e}}^x\)。

（2）\({\rm{d}}(y{\rm{e}}^{-x})=({\rm{d}}y-y{\rm{d}}x){\rm{e}}^{-x}\)。

指数函数常常被作为所谓“积分因子”。

若出现形如\({\rm{d}}y+\lambda y{\rm{d}}x\)的结构，则需要考虑含指数的二元函数。

特殊的微分方程 以下是一些特殊的微分方程。

（1）\(x{\rm{d}}y-y{\rm{d}}x+xy{\rm{d}}x=0\)。

（2）\(x{\rm{d}}y-y{\rm{d}}x+x^2{\rm{d}}y=0\)。

（3）\(x{\rm{d}}y-y{\rm{d}}x+(x^2+y^2){\rm{d}}y=0\)。

（4）\(x{\rm{d}}y-y{\rm{d}}x+(x^2-y^2){\rm{d}}y=0\)。

解答 （1）积分因子\(\mu(x,y)=\dfrac{1}{xy}\)，代入得\({\rm{d}}\ln\left|\dfrac{y}{x}\right|+{\rm{d}}x=0\)。

从而解得\(\ln\left|\dfrac{y}{x}\right|+x=c\)，其中\(c\in\mathbb{R}\)。

（2）积分因子\(\mu(x,y)=\dfrac{1}{x^2}\)，代入得\({\rm{d}}\left(\dfrac{y}{x}\right)+{\rm{d}}y=0\)。

从而解得\(\dfrac{y}{x}+y=c\)，其中\(c\in\mathbb{R}\)。

（3）积分因子\(\mu(x,y)=\dfrac{1}{x^2+y^2}\)，代入得\({\rm{d}}\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)+{\rm{d}}y=0\)。

从而解得\(\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)+y=c\)，其中\(c\in\mathbb{R}\)。

（4）积分因子\(\mu(x,y)=\dfrac{1}{x^2-y^2}\)，代入得\(\dfrac{1}{2}\cdot{\rm{d}}\ln\left|\dfrac{x+y}{x-y}\right|+{\rm{d}}y=0\)。

从而解得\(\dfrac{1}{2}\cdot\ln\left|\dfrac{x+y}{x-y}\right|+y=c\)，其中\(c\in\mathbb{R}\)。

借助类似的策略，可以解决更多问题。

更多例题 求微分方程的通解。

（1）\(y{\rm{d}}x+(y-x){\rm{d}}y=0\)。

（2）\((3x^3+y){\rm{d}}x+(2x^2y-x){\rm{d}}y=0\)。

解答 （1）整理得\(y{\rm{d}}x-x{\rm{d}}y+y{\rm{d}}y=0\)。

积分因子\(\mu(x,y)=\dfrac{1}{y^2}\)，代入得\({\rm{d}}\left(\dfrac{x}{y}\right)+{\rm{d}}(\ln |y|)=0\)。

从而解得\(\dfrac{x}{y}+\ln|y|=c\)，其中\(c\in\mathbb{R}\)。

（2）整理得\(y{\rm{d}}x-x{\rm{d}}y+3x^3{\rm{d}}x+2x^2y{\rm{d}}y=0\)。

积分因子\(\mu(x,y)=\dfrac{1}{x^2}\)，代入得\(-{\rm{d}}\left(\dfrac{y}{x}\right)+{\rm{d}}\left(\dfrac{3}{2}x^2\right)+{\rm{d}}(y^2)=0\)。

从而解得\(\dfrac{y}{x}+\dfrac{3}{2}x^2+y^2=c\)，其中\(c\in\mathbb{R}\)。

实际处理全微分方程或者微分方程的时候，方法较为灵活。

事实上，对于大多数题目，如果积分因子只与\(x\)或是\(y\)有关，大可不必观察。

例如对于微分方程\(M(x,y){\rm{d}}x+N(x,y){\rm{d}}y=0\)而言。

可以直接计算得与\(x\)有关的积分因子\(\mu(x)=\exp\left(\int{\dfrac{\dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}}{N(x,y)}}{\rm{d}}x\right)\)。