条件期望的性质
本节中将探讨条件期望的一些基本性质。
命题1（特殊的条件期望）设\(X\)是概率空间\((\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\)上的随机变量，\(\mathscr{G}\)是\(\mathscr{F}\)的子\(\sigma\)-域。
（1）如果\(X\)关于\(\mathscr{G}\)可测，则\(\mathbb{E}(X|\mathscr{G})=X,\mathrm{a.s.}\)；
（2）如果\(X\)与\(\mathscr{G}\)独立，则\(\mathbb{E}(X|\mathscr{G})=\mathbb{E}X,\mathrm{a.s.}\)。
证明（1）\(X\)是\((\Omega,\mathscr{G},\mathbb{P})\)上的可测函数，且 \[ \int_{C}X\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{C}X\mathrm{d}\mathbb{P},\quad\forall C\in\mathscr{G}, \] 根据定义知\(\mathbb{E}(X|\mathscr{G})=X,\mathrm{a.s.}\)。
（2）\(\mathbb{E} X\)是\((\Omega,\mathscr{G},\mathbb{P})\)上的可测函数，且 \[ \int_C X\mathrm{d}P=\mathbb{E}(X\cdot I_C)=\mathbb{E} X\cdot\mathbb{P}(C)=\int_C\mathbb{E}X\mathrm{d}\mathbb{P}, \] 根据定义知\(\mathbb{E}(X|\mathscr{G})=\mathbb{E}X,\mathrm{a.s.}\)。
在这里应用了结论：若\(X\)与\(C\)独立，则\(\mathbb{E}(X\cdot I_C)=\mathbb{E}X\cdot\mathbb{P}(C)\)，证明需要使用典型方法。
命题2（复合条件期望）设\(X\)是概率空间\((\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\)上的随机变量，\(\mathscr{G}_1\subset\mathscr{G}_2\subset\mathscr{F}\)是\(\mathscr{F}\)的子\(\sigma\)-域，则 \[ \mathbb{E}[\mathbb{E}(X|\mathscr{G}_1)|\mathscr{G}_2]=\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|\mathscr{G}_2)|\mathscr{G}_1]=\mathbb{E}(f|\mathscr{G}_1),\quad\mathrm{a.s.}. \]
证明 一方面，根据\(\mathbb{E}(X|\mathscr{G}_1)\)关于\(\mathscr{G}_1\subset\mathscr{G}_2\)可测，应用命题1的（1）得 \[ \mathbb{E}[\mathbb{E}(X|\mathscr{G}_1)|\mathscr{G}_2]=\mathbb{E}(f|\mathscr{G}_1),\quad\mathrm{a.s.}; \] 另外一方面，根据\(\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|\mathscr{G}_2)|\mathscr{G}_1]\)关于\(\mathscr{G}_1\)可测，且对任意的\(C\in\mathscr{G}_1\subset\mathscr{G}_2\)，都有 \[ \int_C\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|\mathscr{G}_2)|\mathscr{G}_1]\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_C\mathbb{E}(X|\mathscr{G}_2)\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_CX\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_C\mathbb{E}(X|\mathscr{G}_1)\mathrm{d}\mathbb{P}, \] 由\(C\)的任意性得 \[ \mathbb{E}[\mathbb{E}(X|\mathscr{G}_2)|\mathscr{G}_1]=\mathbb{E}(f|\mathscr{G}_1),\quad\mathrm{a.s.}. \] 综合以上两条可知命题成立。
命题3（单调性）设\(X, Y\)是概率空间\((\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\)上的随机变量，\(X\le Y, \mathrm{a.s.}\)，\(\mathscr{G}\)是\(\mathscr{F}\)的子\(\sigma\)-域，则 \[ \mathbb{E}(X|\mathscr{G})\le\mathbb{E}(Y|\mathscr{G}),\quad\mathrm{a.s.}. \] 特别地，\(|\mathbb{E}(X|\mathscr{G})|\le\mathbb{E}(|X||\mathscr{G}),\mathrm{a.s.}\)。
证明 对任意的\(C\in\mathscr{G}\)，都有 \[ \int_C\mathbb{E}(X|\mathscr{G})\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_CX\mathrm{d}\mathbb{P}\le\int_C Y\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_C\mathbb{E}(Y|\mathscr{G})\mathrm{d}\mathbb{P}, \] 由\(C\)的任意性得 \[ \mathbb{E}(X|\mathscr{G})\le\mathbb{E}(Y|\mathscr{G}),\quad\mathrm{a.s.}. \] 另外，注意到\(-X\le|X|, X\le|X|\)， 因此 \[ \begin{cases} -\mathbb{E}(X|\mathscr{G})\le\mathbb{E}(|X||\mathscr{G}),&\mathrm{a.s.}, \\ \mathbb{E}(X|\mathscr{G})\le\mathbb{E}(|X||\mathscr{G}),&\mathrm{a.s.}. \end{cases} \] 综合以上两式，有\(|\mathbb{E}(X|\mathscr{G})|\le\mathbb{E}(|X||\mathscr{G}),\mathrm{a.s.}\)。
命题4（可加性）设\(X, Y\)是概率空间\((\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\)上的随机变量，\(\mathscr{G}\)是\(\mathscr{F}\)的子\(\sigma\)-域，\(a, b\in\mathbb{R}\)，且\(a\mathbb{E}X+b\mathbb{E}Y\)存在，则 \[ \mathbb{E}(aX+bY|\mathscr{G})=a\mathbb{E}(X|\mathscr{G})+b\mathbb{E}(Y|\mathscr{G}),\quad\mathrm{a.s.}. \]
证明 由\(\mathbb{E}(aX+bY)=a\mathbb{E}X+b\mathbb{E}Y\)存在，知\(\mathbb{E}(aX+bY|\mathscr{G})\)有定义。对任意的\(C\in\mathscr{G}\)，都有 \[ \begin{aligned} \int_C(aX+bY)\mathrm{d}\mathbb{P}&=a\int_CX\mathrm{d}\mathbb{P}+b\int_CY\mathrm{d}\mathbb{P}\\ &=a\int_C\mathbb{E}(X|\mathscr{G})\mathrm{d}\mathbb{P}+b\int_C\mathbb{E}(Y|\mathscr{G})\mathrm{d}\mathbb{P}\\ &=\int_C(a\mathbb{E}(X|\mathscr{G})+b\mathbb{E}(Y|\mathscr{G}))\mathrm{d}\mathbb{P}. \end{aligned} \] 因此，\(\mathbb{E}(aX+bY|\mathscr{G})=a\mathbb{E}(X|\mathscr{G})+b\mathbb{E}(Y|\mathscr{G}),\mathrm{a.s.}\)。
命题3和4都是期望\(\mathbb{E}(\cdot)\)的性质向条件期望\(\mathbb{E}(\cdot|\mathscr{G})\)的推广。联想到期望所满足的单调收敛定理、Fatou引理及Lebesgue控制收敛定理，我们接下来证明这些定理对于条件期望也是成立的。
定理5（单调收敛定理）设\(\{X_n\}\)和\(X\)是概率空间\((\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\)上的积分存在的随机变量，\(\mathscr{G}\)是\(\mathscr{F}\)的子\(\sigma\)-域，若\(0\le X_n\uparrow X,\mathrm{a.s.}\)，则 \[ 0\le\mathbb{E}(X_n|\mathscr{G})\uparrow\mathbb{E}(X|\mathscr{G}),\quad\mathrm{a.s.}. \]
证明 由命题3得\(\{\mathbb{E}(X_n|\mathscr{G})\}\)单调递增，且根据\(\mathbb{E}(X_n|\mathscr{G})\)关于\(\mathscr{G}\)可测知\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\mathbb{E}(X_n|\mathscr{G})\)关于\(\mathscr{G}\)可测。对任意的\(C\in\mathscr{G}\)，应用单调收敛定理得 \[ \int_C\lim_{n\to\infty}\mathbb{E}(X_n|\mathscr{G})\mathrm{d}\mathbb{P}=\lim_{n\to\infty}\int_C\mathbb{E}(X_n|\mathscr{G})\mathrm{d}\mathbb{P}=\lim_{n\to\infty}\int_CX_n\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_CX\mathrm{d}\mathbb{P}, \] 这便说明了\(\mathbb{E}(X_n|\mathscr{G})\uparrow\mathbb{E}(X|\mathscr{G}),\mathrm{a.s.}\)。
定理6（Fatou引理）设\(\{X_n\}\)是概率空间\((\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\)上的积分存在的随机变量序列，\(\mathscr{G}\)是\(\mathscr{F}\)的子\(\sigma\)-域，若\(X_n\geq 0,\mathrm{a.s.}\)，则 \[ \mathbb{E}\left(\liminf_{n\to\infty}X_n|\mathscr{G}\right)\le\liminf_{n\to\infty}\mathbb{E}(X_n|\mathscr{G}),\quad\mathrm{a.s.}. \]
证明 对任意的\(C\in\mathscr{G}\)，应用Fatou引理得 \[ \int_C\mathbb{E}\left(\liminf_{n\to\infty}X_n|\mathscr{G}\right)\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_C\liminf_{n\to\infty}X_n\mathrm{d}\mathbb{P}\le\liminf_{n\to\infty}\int_CX_n\mathrm{d}\mathbb{P}, \] 这便说明了\(\displaystyle\mathbb{E}\left(\liminf_{n\to\infty}X_n|\mathscr{G}\right)\le\liminf_{n\to\infty}\mathbb{E}(X_n|\mathscr{G}),\mathrm{a.s.}\)。
定理7（Lebesgue控制收敛定理）设\(\{X_n\}\)和\(X\)是概率空间\((\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\)上的积分存在的随机变量，\(\mathscr{G}\)是\(\mathscr{F}\)的子\(\sigma\)-域，若\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}X_n=X\)，且存在\(Y\in L^1(\Omega)\)，使得对任意的\(n\geq 1\)，都有\(|X_n|\le Y,\mathrm{a.s.}\)，则 \[ \lim_{n\to\infty}\mathbb{E}(X_n|\mathscr{G})=\mathbb{E}(X|\mathscr{G}),\quad\mathrm{a.s.}. \]
证明 由命题3知 \[ |\mathbb{E}(X_n|\mathscr{G})|\le\mathbb{E}(|X_n||\mathscr{G})\le\mathbb{E}(Y|\mathscr{G})\in L^1(\Omega). \] 对任意的\(C\in\mathscr{G}\)，应用Lebesgue控制收敛定理得 \[ \int_C\lim_{n\to\infty}\mathbb{E}(X_n|\mathscr{G})\mathrm{d}\mathbb{P}=\lim_{n\to\infty}\int_C\mathbb{E}(X_n|\mathscr{G})\mathrm{d}\mathbb{P}=\lim_{n\to\infty}\int_CX_n\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_C X\mathrm{d}\mathbb{P}, \] 这便说明了\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\mathbb{E}(X_n|\mathscr{G})=\mathbb{E}(X|\mathscr{G}),\mathrm{a.s.}\)。
定理5、6和7的证明过程说明了，条件期望是离不开期望的。在处理条件期望的问题时，常常需要借助条件期望的定义转化为期望。最后，作为定理5的应用，我们引出如下的重要结论，其在随机过程中有应用。
命题8 设\(X, Y\)是概率空间\((\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\)上的随机变量，\(\mathscr{G}\)是\(\mathscr{F}\)的子\(\sigma\)-域，\(X\)和\(XY\)的积分存在，且\(Y\)关于\(\mathscr{G}\)可测，则 \[ \mathbb{E}(XY|\mathscr{G})=Y\cdot\mathbb{E}(X|\mathscr{G}),\quad\mathrm{a.s.}. \]
证明 用典型方法。
例9 设\(\{(X_n,\mathscr{F}_n),n\geq0\}\)是带流的随机过程，也即对任意的\(n\geq0\)，\(X_n\)是关于\(\mathscr{F}_n\)可测的随机变量，且\(\mathscr{F}_n\subset\mathscr{F}_{n+1}\)。设其期望为0，方差为\(\sigma^2<\infty\)。若其是一个鞅差过程，也即对任意的\(n\geq0\)，都有 \[ \mathbb{E}(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)=0,\quad\mathrm{a.s.}, \] 则其一定是一个白噪声过程，也即对任意的\(n\geq0\)，都有 \[ \mathrm{Cov}(X_n,X_{n+1})=0. \] 这是因为，\(X_n\)是关于\(\mathscr{F}_n\)可测的，从而 \[ \mathbb{E}(X_nX_{n+1}|\mathscr{F}_n)=X_n\cdot\mathbb{E}(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)=0,\quad\mathrm{a.s.}, \] 对上式两边取期望得 \[ \mathrm{Cov}(X_n,X_{n+1})=\mathbb{E}[\mathbb{E}(X_nX_{n+1}|\mathscr{F}_n)]=0. \]
