考虑随机变量序列\(\{X_n, n\geq 1\}\), 并设随机变量\(X<\infty, \mathrm{a.s.}\). 首先给出矩收敛的定义.

定义1(矩收敛) 设\(X_n\in L^r(\Omega)\), 如果 \[ \lim_{n\to\infty}\mathbb{E}|X_n-X|^r=0, \] 则称\(X_n\)于\(X\), 记作\(X_n\xrightarrow{L^r}X\).

以下均设\(X_n, X\in L^r(\Omega)\). 为便于研究矩收敛的性质, 在这里引入一个常用的不等式(来自苏淳的书上).

命题1(\(C_r\)不等式) 设\(r>0\), \(x, y\in\mathbb{R}\), 则 \[ |x+y|^r\le C_r\cdot\left(|x|^r+|y|^r\right), \] 其中 \[ C_r=\begin{cases} 1, & 0<r\le 1, \\ 2^{r-1}, & r>1. \end{cases} \]

证明 首先设\(0<r\le 1\), 若\(x=y=0\), 则不等式取等; 否则 \[ |x+y|^r\le(|x|+|y|)^r=\dfrac{|x|}{(|x|+|y|)^{1-r}}+\dfrac{|y|}{(|x|+|y|)^{1-r}}\le |x|^r+|y|^r; \] 其次设\(r>1\), 由Jensen不等式得 \[ \left|\dfrac{x+y}{2}\right|^r\le\left(\dfrac{|x|+|y|}{2}\right)^r\le\dfrac{|x|^r+|y|^r}{2}\implies|x+y|^r\le 2^{r-1}\cdot\left(|x|^r+|y|^r\right). \] 这便证明了原不等式.

推论 设\(r>0\), \(x_1, x_2, \cdots, x_n\in\mathbb{R}\), 则 \[ \left|\sum_{i=1}^{n}x_i\right|^r\le C_r\cdot\sum_{i=1}^{n}|x_i|^r, \] 其中 \[ C_r=\begin{cases} 1, & 0<r\le 1, \\ n^{r-1}, & r>1. \end{cases} \]

证明 分别应用数学归纳法或\(n\)元Jensen不等式即可.

命题2 设\(r>0\), \(X_n\xrightarrow{L^r}X\), 则\(\mathbb{E}|X_n|^r\to\mathbb{E}|X|^r\).

证明 由\(C_r\)不等式得 \[ |X_n|^r=|X_n-X+X|^r\le C_r\cdot\left(|X_n-X|^r+|X|^r\right), \] 对上式取期望, 并令\(n\to\infty\), 可得 \[ \mathbb{E}(|X_n|^r)-\mathbb{E}(|X|^r)=C_r\cdot \mathbb{E}|X_n-X|^r\to 0, \] 因此\(\mathbb{E}|X_n|^r\to\mathbb{E}|X|^r\).

当\(X_n\xrightarrow{\mathrm{a.s.}} X\)或\(X_n\xrightarrow{d}X\)时, 保证矩收敛的条件是有用的, 以下将分别叙述.

命题3 设\(r>0\), \(X_n\xrightarrow{\mathrm{a.s.}} X\), 则 \[ \mathbb{E}|X|^r\le\liminf_{n\to\infty}\mathbb{E}|X_n|^r. \]

证明 由\(X_n\xrightarrow{\mathrm{a.s.}}X\)知\(|X_n|^r\xrightarrow{\mathrm{a.s.}}|X|^r\), 应用Fatou引理得 \[ \mathbb{E}|X|^r=\mathbb{E}\left(\lim_{n\to\infty}|X_n|^r\right)\le\liminf_{n\to\infty}\mathbb{E}|X_n|^r. \] 这便证明了该定理.

引理4(Helly第二定理) 设\(F_n, F\)是分布函数, 且\(F_n\xrightarrow{v}F\), 则对任意的有界连续函数\(g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\), 都有 \[ \lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}g(x)\mathrm{d}F_n(x)=\int_{\mathbb{R}}g(x)\mathrm{d}F(x). \]

证明 设\(\Omega=(0, 1)\), \(\omega\in\Omega\), 定义 \[ X_n(\omega)=\inf\{x\in\mathbb{R}: F_n(x)\le\omega\}, \quad X(\omega)=\inf\{x\in\mathbb{R}: F(x)\le\omega\}, \] 则\(X_n, X\)的分布函数是\(F_n, F\), 且根据\(F\)的连续点在\(\mathbb{R}\)中稠密, 知\(F_n\xrightarrow{\mathrm{a.s.}}F\), 从而\(X_n\xrightarrow{\mathrm{a.s.}}X\), 进而对有界连续函数\(g\), 有\(g(X_n)\xrightarrow{\mathrm{a.s.}}g(X)\). 由Lebesgue控制收敛定理(或者称为有界收敛定理), 得 \[ \lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}g(x)\mathrm{d}F_n(x)=\lim_{n\to\infty}\mathbb{E}g(X_n)=\mathbb{E}g(X)=\int_{\mathbb{R}}g(x)\mathrm{d}F(x), \] 这便证明了该结论.

命题5 设\(r>0\), \(X_n\xrightarrow{d}X\), 如果存在\(p>0\), 使得 \[ \sup_{n\geq 1}\mathbb{E}|X_n|^p<\infty, \] 则对任意的\(r<p\), 都有\(\mathbb{E}|X_n|^r\to\mathbb{E}|X|^r\).

证明 设\(F_n, F\)分别是\(X_n, X\)的分布函数, 则\(F_n\xrightarrow{v}F\). 对于\(A>0\), 定义函数 \[ f_A(x)=\begin{cases} |x|^r,\quad |x|\le A, \\ A^r,\quad |x|>A, \\ \end{cases} \] 则\(f_A\)是有界连续函数, 根据Helly第二定理得 \[ \lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}f_A(x)\mathrm{d}F_n(x)=\int_{\mathbb{R}}f_A(x)\mathrm{d}F(x), \] 并且 \[ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}}\left|f_A(x)-|x|^r\right|\mathrm{d}F_n(x)&\le\int_{|x|>A}|x|^r\mathrm{d}F_n(x)\\ &=\mathbb{E}\left(|X_n|^r\cdot I_{\{|X_n|>A\}}\right)\\ &\le\dfrac{1}{A^{p-r}}\cdot\mathbb{E}\left(|X_n|^p\cdot I_{\{|X_n|>A\}}\right)\\ &\le\dfrac{M}{A^{p-r}}, \end{aligned} \] 因此当\(A\to\infty\)时, \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}}f_A(x)\mathrm{d} F_n(x)\)对\(n\)一致收敛于\(\displaystyle\int_{\mathbb{R}}|x|^r\mathrm{d}F(x)=\mathbb{E}(|X|^r)\), 进而有 \[ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}|x|^r\mathrm{d}F_n(x)&=\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}|x|^r\mathrm{d}F_n(x)\\ &=\lim_{n\to\infty}\lim_{A\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_A(x)\mathrm{d}F_n(x)\\ &=\lim_{A\to\infty}\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_A(x)\mathrm{d}F_n(x)\\ &=\lim_{A\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_A(x)\mathrm{d}F(x)\\ &=\int_{\mathbb{R}}|x|^r\mathrm{d}F(x), \end{aligned} \] 也即\(\mathbb{E}|X_n|^r\to\mathbb{E}|X|^r\).