次概率测度的列紧性

进一步, 我们研究所有次概率测度所构成的集合的结构. 考虑到所有的次概率测度和$[0, 1]$是类似的, 并且考虑到$[0, 1]$是列紧集, 我们也可以证明次概率测度所构成的集合是列紧的.

定理1 设$\{\mu_n\}$是次概率测度, 则存在子列$\{\mu_{n_k}\}$, 使得$\mu_{n_k}\xrightarrow{v}\mu$.

证明定义函数 \[ F_n(x)=\mu_n(-\infty,x],\quad\forall x\in\mathbb{R}. \] 则$F_n$是$\mathbb{R}$上单调递增的右连续函数, 且$F_n(-\infty)=0$, $F_n(\infty)=\mu_n(\mathbb{R})\le 1$. 设$D$是$\mathbb{R}$的可数稠密子集, $\{r_k, k\geq 1\}$是它的排列, 按照如下方式选择$\{F_n\}$的一个子列:

数列$\{F_n(r_1), n\geq 1\}$有界, 选取其的一个收敛子列$\left\{F_n^{(1)}(r_1), n\geq 1\right\}$;
数列$\left\{F_n^{(1)}(r_2), n\geq 1\right\}$有界, 选取其的一个收敛子列$\left\{F_n^{(2)}(r_2), n\geq 1\right\}$;
…;
数列$\left\{F_n^{(k-1)}(r_k), n\geq 1\right\}$有界, 选取其的一个收敛子列$\left\{F_n^{(k)}(r_k), n\geq 1\right\}$;

由此, 我们得到了若干函数列: \[ \begin{array}{*{6}{cccccl}} F_1^{(1)}, & F_2^{(1)}, & \cdots, & F_n^{(1)}, & \cdots, & \text{在$r_1$处收敛;} \\ F_1^{(2)}, & F_2^{(2)}, & \cdots, & F_n^{(2)}, & \cdots, & \text{在$r_1, r_2$处收敛;} \\ \cdots, & \cdots, & \cdots, & \cdots, & \cdots; \\ F_1^{(k)}, & F_2^{(k)}, & \cdots, & F_n^{(k)}, & \cdots, & \text{在$r_1, r_2, \cdots ,r_k$处收敛;} \\ \cdots, & \cdots, & \cdots, & \cdots, & \cdots. \\ \end{array} \] 选取上述函数列的对角线$F_1^{(1)}$, $F_2^{(2)}$, $\cdots$, $F_k^{(k)}$, $\cdots$, 则$\displaystyle\lim_{k\to\infty}F_k^{(k)}$在所有的$\{r_k, k\geq 1\}$处收敛, 也即在$D$上收敛. 记 \[ \begin{aligned} &G(r):=\lim_{k\to\infty}F_k^{(k)}(r),\quad\forall r\in D,\\ &F(x):=\sup_{x<r\in D}G(r),\quad\forall x\in\mathbb{R}, \end{aligned} \] 则$F(x)$是$\mathbb{R}$上单调递增的右连续函数. 设$C$是$F(x)$的连续点, 则$C$在$\mathbb{R}$中稠密. 设$x\in C$, 则对任意的$\varepsilon>0$, 存在$r, r', r''\in D$, 使得$r<r'<x<r''$, 且$F(r'')-F(r)<\varepsilon$, 于是 \[ F(r)\le G(r')\le F(x)\le G(r'')\le F(r'')\le F(r)+\varepsilon, \] 且 \[ F_k^{(k)}(r')<F_k^{(k)}(x)<F_k^{(k)}(r''), \] 由$\varepsilon$的任意性知 \[ \lim_{k\to\infty}F_k^{(k)}(x)=F(x),\quad\forall x\in C. \] 我们知道, 存在唯一的概率测度$\mu$, 使得$F(x)=\mu(-\infty, x]$. 另外, 设$F_k^{(k)}$所对应的次概率测度为$\mu_{n_k}$. 由上面的结果, 知对任意的$a, b\in C$, 都有 \[ \lim_{k\to\infty}\mu_{n_k}(a, b]=\mu(a, b], \] 从而$\mu_{n_k}\xrightarrow{v}\mu$.

推论设$\{\mu_n\}$是次概率测度, 如果对任何淡收敛的子列$\{\mu_{n_k}\}$, 都有$\mu_{n_k}\xrightarrow{v}\mu$, 则$\mu_n\xrightarrow{v}\mu$.

证明假设$\mu_n$不淡收敛到$\mu$, 则存在连续性区间$(a, b)$, 使得$\mu_n(a,b)$不以$\mu(a, b)$为极限. 由$[0, 1]$的列紧性, 存在子列$\{\mu_{n_k}(a, b)\}$, 使得 \[ \mu_{n_k}(a, b)\to a\ne \mu(a, b). \] 而由次概率密度的列紧性, $\{\mu_{n_k}\}$存在淡收敛的子列$\{\mu_{n_k'}\}$, 使得$\mu_{n_k'}\xrightarrow{v}\mu$, 因此 \[ \mu_{n_k'}(a, b)\to\mu(a, b), \] 此与以上极限矛盾, 从而假设不成立.