Riemann-Lebesgue引理及其推论
所谓的Riemann-Lebesgue引理，说的是这样的结论：
定理1 设\(f\in\mathscr{R}[a,b]\)（这里\(a\)可以是\(-\infty\)，\(b\)可以是\(+\infty\)），那么 \[
\displaystyle\lim_{\lambda\to\infty}\int_a^bf(t)e(-\lambda
t){\rm{d}}t=0.
\]
注 在这里\(e(t)={\rm{e}}^{2\pi
ti}\)，并且根据Euler公式有\(e(t)=\cos(2\pi t)+i\sin(2\pi
t)\)，因此可以将\(e(t)\)用三角函数表示。\(\mathscr{R}[a,b]\)表示全体在\([a,b]\)上可积或绝对可积的函数所构成的集合。可积的含义是积分\(\displaystyle\int_a^b|f(t)|{\rm{d}}t\)收敛。绝对可积的含义是积分\(\displaystyle\int_a^b|f(t)|{\rm{d}}t\)收敛，这里包括了\(f(x)\)存在奇点和\([a,b]\)是无穷区间的情形。
证明 首先，设 ...
ODE中的全微分与凑微分技巧
在解微分方程的时候，有一些特定的结构可以写成全微分的形式。
熟练地使用这些技巧，有助于找到解题的捷径。
基本组合的全微分
根据函数微分的加减乘除运算法则，容易得到以下关于微分的性质。
（1）\({\rm{d}}(x\pm
y)={\rm{d}}x\pm{\rm{d}}y\)。
（2）\({\rm{d}}(xy)=x{\rm{d}}y+y{\rm{d}}x\)。
（3）\({\rm{d}}\left(\dfrac{y}{x}\right)=\dfrac{x{\rm{d}}y-y{\rm{d}}x}{x^2}\)。
事实上，在一些微分方程的求解中，经常需要用\(x+y\)、\(xy\)或\(\dfrac{y}{x}\)作换元。
常见函数的全微分
一些常见的二元函数的全微分如下所示。
（1）\({\rm{d}}\ln\left|xy\right|=\dfrac{x{\rm{d}}y+y{\rm{d}}x}{xy}\)。
（2）\({\rm{d}}\ln\left|\dfrac{y}{x}\right|=\dfrac{x{\rm{d}}y-y{\rm ...
基于Logistic模型的西安疫情趋势预测
根据12月至今以来西安的疫情数据，笔者建立了Logistic模型，使用MATLAB得到了相关参数。
预测结果
\(K=2040\)，也即最大感染人数为2040人。
\(r=0.339\)，这个参数代表了增长速率。
预测拐点的时间\(t_1=23\)，也即1月1日。
预测稳定的时间\(t_2=38\)，也即1月16日。
代码
12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243%% 初始化clear;close all;%% 导入数据data = xlsread('\西安疫情.xlsx');x = data(:, 1);dy = data(:, 2);y = data(:, 3);n = size(y, 1);%% 拟合与计算fun = @(k, x) k(3).*k(1).*exp(k(2).*x)./(k(1)+k(3).*(exp(k(2).*x)-1));[k, resnorm] = lsqcurvefit(fun ...
