现在开始探讨\(X_n\xrightarrow{p} X\)与\(X_n\xrightarrow{L^r}X\)之间的关系. 我们需要对\(\{X_n\}\)加一些条件. 对随机变量序列\(\{X_n\}\), 在此引入一个新的定义.

定义1(一致可积) 设\(\{X_n\}\)是随机变量序列, 如果 \[ \lim_{A\to\infty}\sup_{n\geq 1}\mathbb{E}\left(|X_n|\cdot I_{\{|X_n|>A\}}\right)=0, \] 则称\(\{X_n\}\).

一致可积也可以写成 \[ \lim_{A\to\infty}\mathbb{E}\left(|X_n|\cdot I_{\{|X_n|>A\}}\right)=0, \quad\forall n\geq 1. \] 接下来给出一致可积的等价形式.

定理1 设\(\{X_n\}\)是随机变量序列, 则\(\{X_n\}\)一致可积当且仅当以下两条性质同时成立:

  1. 一致有界, 也即存在\(M>0\), 使得 \[ \sup_{n\geq 1}\mathbb{E}|X_n|<M; \]

  2. 一致绝对连续, 也即对任意的\(\varepsilon>0\), 存在\(\delta>0\), 使得对任意的满足\(\mathbb{P}(E)<\delta\)的\(E\in\mathscr{F}\), 都有 \[ \sup_{n\geq 1}\mathbb{E}\left(|X_n|\cdot I_E\right)<\varepsilon. \]

证明 一方面, 设\(\{X_n\}\)一致可积, 则对任意的\(n\geq 1\), 都有 \[ \lim_{A\to\infty}\mathbb{E}\left(|X_n|\cdot I_{\{|X_n|>A\}}\right)=0, \] 从而存在\(A\), 使得\(\mathbb{E}\left(|X_n|\cdot I_{\{|X_n|>A\}}\right)<1\), 进一步有 \[ \begin{aligned} \mathbb{E}|X_n|&=\mathbb{E}\left(|X_n|\cdot I_{\{|X_n|\le A\}}\right)+\mathbb{E}\left(|X_n|\cdot I_{\{|X_n|>A\}}\right)\\ &\le A\cdot\mathbb{P}(|X_n|\le A)+1\\ &\le A+1, \end{aligned} \] 上式与\(n\)无关, 这便说明了\(\{X_n\}\)一致有界; 同时, 对任意的\(\varepsilon>0\), 存在\(A>0\), 使得 \[ \mathbb{E}\left(|X_n|\cdot I_{\{|X_n|>A\}}\right)<\dfrac{\varepsilon}{2}. \] 取\(\delta=\dfrac{\varepsilon}{2A}\), 设\(E\in\mathscr{F}\), 且\(\mathbb{P}(E)<\delta\), 则 \[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left(|X_n|\cdot I_E\right)&=\mathbb{E}\left(|X_n|\cdot I_E\cdot I_{\{|X_n|\le A\}}\right)+\mathbb{E}\left(|X_n|\cdot I_E\cdot I_{\{|X_n|> A\}}\right)\\ &\le A\cdot\mathbb{P}(E)+\mathbb{E}\left(|X_n|\cdot I_{\{|X_n|> A\}}\right)\\ &\le A\cdot\dfrac{\varepsilon}{2A}+\dfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon, \end{aligned} \] 上式与\(n\)无关, 说明了\(\{X_n\}\)一致绝对连续.

反之, 设\(\{X_n\}\)一致有界且一致绝对连续, 则对任意的\(n\geq 1\), 应用Chebyshev不等式得 \[ \mathbb{P}(|X_n|>A)\le\dfrac{\mathbb{E}|X_n|}{A}<\dfrac{M}{A}, \] 对任意的\(\delta>0\), 只要\(A>\dfrac{M}{\delta}\), 就有\(\mathbb{P}(|X_n|>A)<\delta\). 取\(E=\{|X_n|>A\}\), 对任意的\(\varepsilon>0\), 都存在\(\delta\)以及\(A>\dfrac{M}{\delta}\), 使得 \[ \mathbb{E}\left(|X_n|\cdot I_E\right)=\mathbb{E}\left(|X_n|\cdot I_{\{|X_n|>A\}}\right)<\varepsilon, \] 这便说明了\(\{X_n\}\)绝对可积.

介绍一致可积性是为了在\(X_n\xrightarrow{p}X\)的情况下, 探究加入\(X_n\xrightarrow{L^r}X\)的条件所能得到的结果. 以下设\(X_n, X\in L^r(\Omega)\).

定理2 设\(r>0\), \(X_n\xrightarrow{p}X\), 下列命题等价:

  1. \(\{|X_n|^r\}\)一致可积;

  2. \(X_n\xrightarrow{L^r}X\);

  3. \(\mathbb{E}|X_n|^r\to\mathbb{E}|X|^r\).

证明 (1)\(\implies\)(2): 设\(\{|X_n|^r\}\)一致可积, 对任意的\(n\geq 1\), 由\(C_r\)不等式得 \[ |X_n-X|^r\le 2^{r-1}\cdot\left(|X_n|^r+|X|^r\right), \] 因此\(\{|X_n-X|^r\}\)也一致可积. 设\(\varepsilon>0\), 由\(X_n\xrightarrow{p}X\)得\(\mathbb{P}\left(|X_n-X|>\varepsilon\right)\to 0\), 并且存在\(M>0\), 使得\(|X_n-X|<M, \mathrm{a.s.}\). 计算得 \[ \begin{aligned} \mathbb{E}|X_n-X|^r&=\mathbb{E}\left(|X_n-X|^r\cdot I_{\{|X_n-X|\le\varepsilon\}}\right)+\mathbb{E}\left(|X_n-X|^r\cdot I_{\{|X_n-X|>\varepsilon\}}\right)\\ &\le \varepsilon^r+\mathbb{E}\left(|X_n-X|^r\cdot I_{\{|X_n-X|>\varepsilon\}}\right)\\ &\le\varepsilon^r+M^r\cdot\mathbb{P}(|X_n-X|>\varepsilon)\\ &\to\varepsilon^r, \end{aligned} \] 再令\(\varepsilon\to 0\)即可得\(X_n\xrightarrow{L^r}X\).

(2)\(\implies\)(3): 这是已经证明的结论.

(3)\(\implies\)(1): 设\(\mathbb{E}|X_n|^r\to\mathbb{E}|X|^r\), 对于\(A>0\), 由Fatou引理得 \[ \mathbb{E}\left(|X|^r\cdot I_{\{|X|^r\le A\}}\right)\le\liminf_{n\to\infty}\mathbb{E}\left(|X_n|^r\cdot I_{\{|X_n|^r\le A\}}\right), \] 因此 \[ \limsup_{n\to\infty}\mathbb{E}\left(|X_n|^r\cdot I_{\{|X_n|^r>A\}}\right)\le\mathbb{E}\left(|X|^r\cdot I_{\{|X|^r>A\}}\right). \] 由\(X\in L^r(\Omega)\)知, 当\(A\to\infty\)时有\(\mathbb{E}\left(|X|^r\cdot I_{\{|X|^r>A\}}\right)\to 0\), 因此对任意的\(\varepsilon>0\), 存在\(A_0>0\)及\(n_0\), 使得当\(A>A_0\)时, 有 \[ \sup_{n>n_0}\mathbb{E}\left(|X_n|^r\cdot I_{\{|X_n|^r>A\}}\right)<\varepsilon. \] 又当\(n\le n_0\)时, 根据\(X_n\in L^r(\Omega)\)知, 当\(A\to\infty\)时有\(\mathbb{E}\left(|X_n|^r\cdot I_{\{|X|^r>A\}}\right)\to 0\), 因此 \[ \lim_{A\to\infty}\sup_{n\geq 1}\mathbb{E}\left(|X_n|^r\cdot I_{\{|X_n|^r>A\}}\right)=0, \] 也即\(\{|X_n|^r\}\)一致可积.

推论 设\(\{X_n\}\)一致可积, 则\(X_n\xrightarrow{p}X\)当且仅当\(X_n\xrightarrow{L^r}X\).

证明 直接应用上述结论即可.