Doob鞅收敛定理
本节将介绍Doob鞅收敛定理及其推论。
定理1（Doob收敛定理）设\(\{X_n\}\)为上鞅，如果 \[
\sup_{n\geq 0}\mathbb{E}|X_n|<+\infty,
\] 则当\(n\to\infty\)时，\(X_n\mathrm{a.s.}\)收敛于一可积随机变量\(X_{\infty}\)。进一步，若\(\{X_n\}\)为非负上鞅，则对任意的\(n\geq 0\)，有 \[
\mathbb{E}(X_{\infty}|\mathscr{F}_n)\le X_n,\quad\mathrm{a.s.}.
\]
证明 设\(a,
b\in\mathbb{Q}\)，记 \[
U_a^b=\lim_{k\to\infty}U_a^b(k)
\] 表示\(\{X_n,n\geq
0\}\)上穿区间\([a,b]\)的次数，由上穿不等式知 \[
\mathbb{E}U_a^b\le\dfrac{1}{b-a}\cdot\sup_{n\geq
0}\mathbb{E}(X_n-a)^-\le\dfrac{1}{b-a}\cdot\ ...
停时与上穿不等式
本节将对离散时间鞅定义停时，并介绍上穿不等式。
定义1 设\(\{\mathscr{F}_n\}\)是上升的\(\sigma\)-域，也即对任意的\(n\geq 0\)，都有\(\mathscr{F}_n\subset\mathscr{F}_{n+1}\)。随机变量\(T:\Omega\to\{0,1,2,\cdots\}\)，且对任意的\(n\geq 0\)，都有 \[
\{T=n\}\in\mathscr{F}_n,
\] 则称\(T\)是\(\{\mathscr{F}_n\}\)的停时。
事实上，注意到\(\{\mathscr{F}_n\}\)是上升的，在这里\(\{T=n\}\in\mathscr{F}_n\)对任意的\(n\geq 0\)成立，等价于\(\{T\le n\}\in\mathscr{F}_n\)对任意的\(n\geq 0\)成立。
例2 设\(T\)表示赌徒停止赌博的时间，\(T=n\)表示在经过\(n\)次赌博后赌徒停止赌博，则事件\(\{T=n\}\)取决于前\(n\)次赌博中所获得的信息\(\mathscr{F}_n\)。
定义 ...
离散时间鞅的定义
鞅（Martingale）的概念来源于公平赌博。在上一节中，所提到的鞅差过程也与鞅有一定的联系。
定义1（鞅）设\(\{(X_n,\mathscr{F}_n),n\geq0\}\)是带流的随机过程，也即对任意的\(n\geq0\)，\(X_n\)是关于\(\mathscr{F}_n\)可测的随机变量，且\(\mathscr{F}_n\subset\mathscr{F}_{n+1}\)。如果对任意的\(n\geq0\)，\(X_n\)的积分存在，且 \[
\mathbb{E}(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)=X_n,\quad\mathrm{a.s.},
\] 则称\(\{X_n\}\)为鞅。如果将上式改为
\[
\mathbb{E}(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)\le
X_n,\quad\mathrm{a.s.},\quad\text{或}\quad\mathbb{E}(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)\geq
X_n,\quad\mathrm{a.s.},
\] 则分别称\(\{X_n\}\)为上鞅或下鞅。
根据 ...
条件期望的性质
本节中将探讨条件期望的一些基本性质。
命题1（特殊的条件期望）设\(X\)是概率空间\((\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\)上的随机变量，\(\mathscr{G}\)是\(\mathscr{F}\)的子\(\sigma\)-域。
（1）如果\(X\)关于\(\mathscr{G}\)可测，则\(\mathbb{E}(X|\mathscr{G})=X,\mathrm{a.s.}\)；
（2）如果\(X\)与\(\mathscr{G}\)独立，则\(\mathbb{E}(X|\mathscr{G})=\mathbb{E}X,\mathrm{a.s.}\)。
证明（1）\(X\)是\((\Omega,\mathscr{G},\mathbb{P})\)上的可测函数，且
\[
\int_{C}X\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{C}X\mathrm{d}\mathbb{P},\quad\forall
C\in\mathscr{G},
\] 根据定义知\(\mathbb{E}(X|\mathscr{G})=X,\mat ...
条件期望、条件概率与例子
本文将给出测度论意义下的条件期望与条件概率的定义，并举一些简单的例子。
条件期望与条件概率的定义
设\((\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\)为概率空间，条件期望首先是对于\(\mathscr{F}\)的子\(\sigma\)-域而言的。
定义1（子\(\sigma\)-域）设\(\mathscr{G}\subset\mathscr{F}\)是\(\sigma\)-域，则称\(\mathscr{G}\)是\(\mathscr{F}\)的子\(\sigma\)-域。
设\(X\in\mathscr{L}^1(\Omega)\)是概率空间\((\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\)上的随机变量，定义
\[
\varphi(C):=\int_CX\mathrm{d}\mathbb{P},\quad\forall C\in\mathscr{G},
\] 则\(\varphi\)是\(\mathscr{G}\)上的符号测度，且根据 \[
\mathbb{P}(C)=0\implies \varphi(C)=\int ...
