淡收敛是对概率测度而言的一种性质.

定义1(次概率测度) 设\(\mu\)是\((\mathbb{R}, \mathscr{B}_{\mathbb{R}})\)上的测度, 如果\(\mu(\mathbb{R}^1)\le 1\), 则称\(\mu\)为次概率测度.

以下为了方便, 对次概率测度\(\mu\)及\(a, b\in\mathbb{R}\), 记\(\mu(a, b]:=\mu\left((a, b]\right)\), 类似的记号还有\(\mu[a, b)\), \(\mu(a, b)\)和\(\mu[a, b]\), 并约定当\(a>b\)时, 上述的值均为0.

定义2(淡收敛) 设\(\{\mu_n\}\), \(\mu\)是次概率测度, 如果存在\(\mathbb{R}\)的稠密子集\(D\), 使得对任意的\(a, b\in D\), \(a<b\), 都有 \[ \mu_n(a, b]\to\mu(a, b], \] 则称\(\mu_n\)淡收敛到\(\mu\), 称\(\mu_n\)为\(\mu\)的淡极限, 记作\(\mu_n\xrightarrow{v}\mu\).

定义3(连续性区间) 设\(\mu\)是次概率测度, \(a, b\in\mathbb{R}\), 若\(\mu(a, b)=\mu[a,b]\), 或者\(a, b\)均不是\(\mu\)的原子, 则称\((a,b)\)是\(\mu\)的连续性区间.

定理4 设\(\{\mu_n\}\), \(\mu\)是次概率测度, 下列命题等价:

  1. 对任意的有限区间\((a, b)\)和\(\varepsilon>0\), 存在\(n_0\), 使得对任意的\(n>n_0\), 都有 \[ \mu(a+\varepsilon,b-\varepsilon)-\varepsilon\le\mu_n(a,b)\le\mu(a-\varepsilon,b+\varepsilon)+\varepsilon; \]

  2. 对任意的\(\mu\)的连续性区间\((a, b]\), 都有 \[ \mu_n(a, b]\to\mu(a, b]. \] 在这里, \((a, b]\)可以用\((a, b)\), \([a, b]\)或\([a, b)\)代替;

  3. \(\mu_n\xrightarrow{v}\mu\).

证明 (1)\(\implies\)(2): 设\((a, b)\)是\(\mu\)的连续性区间, 由测度的单调性知 \[ \lim_{\varepsilon\downarrow 0}\mu(a+\varepsilon,b-\varepsilon)=\mu(a,b)=\mu[a,b]=\lim_{\varepsilon\downarrow 0}\mu(a-\varepsilon,b+\varepsilon), \] 再令\(n\to\infty\), 则有 \[ \mu(a, b)\le\liminf_{n\to\infty}\mu_n(a, b]\le\limsup_{n\to\infty}\mu_n(a, b]\le\mu[a, b]=\mu(a, b), \] 这便说明了\(\mu_n(a, b]\to\mu(a, b]\). 对于\((a, b)\), \([a, b]\)和\([a, b)\)的情形, 也可以类似证明.

(2)\(\implies\)(3): 记\(C\subset\mathbb{R}\)为\(\mu\)的原子所构成的集合, 也即对任意的\(c\in C\), 都有\(\mu(\{c\})>0\). 假设\(C\)是不可数集, 则有 \[ \mu(C)=\sum_{c\in C}\mu(\{c\})=\infty, \] 此与\(\mu\)是次概率测度矛盾, 因此\(C\)是至多可数集. 记\(D=C^C\), 则\(D\)是稠密集, 并且对任意的\(a, b\in D\), \(a<b\), 都有\(\mu_n(a, b]\to\mu(a, b]\), 这便说明了\(\mu_n\xrightarrow{v}\mu\).

(3)\(\implies\)(1): 设\(D\subset\mathbb{R}\)为满足条件的稠密集, 对任意的有限区间\((a, b)\)和\(\varepsilon>0\), 存在\(a_1, a_2, b_1, b_2\in D\), 使得 \[ a-\varepsilon<a_1<a<a_2<a+\varepsilon,\quad b-\varepsilon<b_1<b<b_2<b+\varepsilon. \] 由\(\mu_n\xrightarrow{v}\mu\)知, 存在\(n_0\), 使得对任意的\(n>n_0\), 都有 \[ \left|\mu_n(a_i, b_j]-\mu(a_i, b_j]\right|<\varepsilon,\quad\forall i=1,2,\quad \forall j=1,2, \] 因此 \[ \begin{aligned} \mu(a+\varepsilon,b-\varepsilon)-\varepsilon&\le\mu(a_2, b_1]-\varepsilon\le\mu_n(a_2, b_1]\le\mu_n(a, b)\\ &\le\mu_n(a_1, b_2]\le\mu(a_1, b_2]+\varepsilon\le\mu(a-\varepsilon,b+\varepsilon)+\varepsilon, \end{aligned} \] 这便证明了原不等式.

推论 设\(\{\mu_n\}\)是次概率测度, 则\(\{\mu_n\}\)的淡极限是唯一的.

证明 设\(\mu_n\xrightarrow{v}\mu\), 且\(\mu_n\xrightarrow{v}\mu'\), 记\(A\)为\(\mu\)和\(\mu'\)的原子所构成的集合, 则对任意的\(a, b\in A^C\), 都有 \[ \mu(a, b]=\mu'(a, b]. \] 由\(\mu\)和\(\mu'\)在一个\(\mathbb{R}\)上稠密的集合\(A^C\)上相等, 知\(\mu\equiv \mu'\).

将次概率测度推广到概率测度, 可以得到如下定理. 考虑到本节研究的主要是次概率测度, 在这里暂且不给出证明.

定理5 设\(\{\mu_n\}\), \(\mu\)是概率测度, 下列命题等价:

  1. 对任意的\(\delta>0\)和\(\varepsilon>0\), 存在\(n_0\), 使得对任意的\(n>n_0\), 及对任意的区间\((a, b)\), 都有 \[ \mu(a+\delta,b-\delta)-\varepsilon\le\mu_n(a,b)\le\mu(a-\delta,b+\delta)+\varepsilon; \]

  2. 对任意的\(\mu\)的连续性区间\((a, b]\), 都有 \[ \mu_n(a, b]\to\mu(a, b]. \] 在这里, \((a, b]\)可以用\((a, b)\), \([a, b]\)或\([a, b)\)代替;

  3. \(\mu_n\xrightarrow{v}\mu\).