将事件列\(\{E_n\}\)的上极限, 也即 \[ \limsup_{n\to\infty}E_n=\bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcup_{n=m}^{\infty}E_n \] 记作\(E_n, \mathrm{i.o.}\), 表示\(\{E_n\}\)发生无穷多次.

收敛部分

定理1 对于事件列\(\{E_n\}\), 有 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(E_n)<\infty\implies\mathbb{P}(E_n, \mathrm{i.o.})=0. \]

证明由概率的次可加性得 \[ \mathbb{P}\left(\bigcup_{n=m}^{\infty}E_n\right)\le\sum_{n=m}^{\infty}\mathbb{P}(E_n), \] 因此 \[ \mathbb{P}(E_n,\mathrm{i.o.})=\lim_{m\to\infty}\mathbb{P}\left(\bigcup_{n=m}^{\infty}E_n\right)\le\lim_{m\to\infty}\sum_{n=m}^{\infty}\mathbb{P}(E_n)=0, \] 这便证明了该结论.

以下设\(\{X_n\}\)是随机变量序列, \(X\)几乎处处有限.

推论 \(X_n\xrightarrow{\mathrm{a.s.}}X\)当且仅当对任意的\(\varepsilon>0\), 有 \[ \mathbb{P}(|X_n-X|>\varepsilon,\mathrm{i.o.})=0. \]

证明应用前述结论.

推论若\(X_n\xrightarrow{p}X\), 则存在子列\(\{X_{n_k}\}\subset\{X_n\}\), 使得\(X_{n_k}\xrightarrow{\mathrm{a.s.}}X\).

证明由\(X_n\xrightarrow{p}X\), 知对任意的\(k\in\mathbb{N}\), 都有 \[ \lim_{n\to\infty}\mathbb{P}\left(|X_n-X|>\dfrac{1}{2^k}\right)=0. \] 从而对任意的\(k\in\mathbb{N}\), 都存在\(n_k\), 使得 \[ \mathbb{P}\left(|X_{n_k}-X|>\dfrac{1}{2^k}\right)\le\dfrac{1}{2^k}\implies\sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(|X_{n_k}-X|>\dfrac{1}{2^k}\right)\le 1<\infty, \] 根据Borel-Cantelli引理, 知 \[ \mathbb{P}\left(|X_{n_k}|>\dfrac{1}{2^k},\mathrm{i.o.}\right)=0, \] 因此\(X_{n_k}\xrightarrow{\mathrm{a.s.}}X\).

发散部分

定理2 对于独立事件列\(\{E_n\}\), 有 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(E_n)=\infty\implies\mathbb{P}(E_n,\mathrm{i.o.})=1. \]

证明由\(\{E_n\}\)独立知\(\{E_n^C\}\)独立, 因此 \[ \mathbb{P}\left(\bigcap_{n=m}^{\infty}E_n^C\right)=\prod_{n=m}^{\infty}\mathbb{P}\left(E_n^C\right)=\prod_{n=m}^{\infty}\left(1-\mathbb{P}(E_n)\right)\le\exp\left(-\sum_{n=m}^{\infty}\mathbb{P}(E_n)\right)=0, \] 因此 \[ \mathbb{P}(E_n,\mathrm{i.o.})=1-\lim_{m\to\infty}\mathbb{P}\left(\bigcap_{n=m}^{\infty}E_n^C\right)=1-0=1, \] 这便证明了该结论.

Borel-Cantelli引理的收敛部分对\(\{E_n\}\)无任何要求, 而发散部分要求\(\{E_n\}\)是独立的. 事实上, 后者的条件可以退为\(\{E_n\}\)是两两独立的.

定理3 对于两两独立的事件列\(\{E_n\}\), 有 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(E_n)=\infty\implies\mathbb{P}(E_n,\mathrm{i.o.})=1. \]

证明记\(I_n:=I_{E_n}\), 则\(\{E_n\}\)两两独立等价于对任意的\(m\ne n\), 都有 \[ \mathbb{E}(I_mI_n)=\mathbb{E}(I_m)\cdot\mathbb{E}(I_n). \] 考虑级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}I_n(\omega)\), 它发散到\(\infty\)等价于有无限多项\(I_n(\omega)=1\), 等价于\(\omega\in E_n,\mathrm{i.o.}\), 因此只需证明 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}(I_n)=\infty\implies\sum_{n=1}^{\infty}I_n=\infty,\quad\mathrm{a.s.}. \] 记部分和\(J_k=\displaystyle\sum_{n=1}^{k}I_n\), 应用Chebyshev不等式, 对任意的\(A>0\), 都有 \[ \mathbb{P}\left(|J_k-\mathbb{E}(J_k)|\le A\cdot\sqrt{\mathrm{Var} (J_k)}\right)\geq 1-\dfrac{\mathrm{Var}(J_k)}{A^2\cdot\mathrm{Var}(J_k)}=1-\dfrac{1}{A^2}. \] 其中, 由\(I_1, I_2, \cdots, I_k\)不相关, 且任意阶矩都相等, 得 \[ \mathrm{Var}(J_k)=\sum_{n=1}^{k}\mathrm{Var}(I_n)=\sum_{n=1}^{k}\mathbb{E}\left(I_n^2\right)-\sum_{n=1}^{k}\left(\mathbb{E}(I_n)\right)^2\le\sum_{n=1}^{k}\mathbb{E}(I_n)=\mathbb{E}(J_k), \] 从而\(\sqrt{\mathrm{Var}(J_k)}=o\left(\mathbb{E}(J_k)\right)\), 因此当\(k\)充分大时, 有 \[ \mathbb{P}\left(J_k>\dfrac{1}{2}\cdot\mathbb{E}(J_k)\right)\geq 1-\dfrac{1}{A^2}. \] 令\(k\to\infty\), 可得 \[ \mathbb{P}\left(\lim_{k\to\infty}J_k=\infty\right)\geq 1-\dfrac{1}{A^2}, \] 由\(A\)的任意性得知 \[ \sum_{n=1}^{\infty}I_n=\lim_{k\to\infty}J_k=\infty,\quad\mathrm{a.s.}, \] 这便证明了该结论.

推论(0-1律的一个例子) 对于两两独立的事件列\(\{E_n\}\), 有 \[ \mathbb{P}\left(E_n,\mathrm{i.o.}\right)\in\{0,1\}. \]

若\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(E_n)<\infty\), 则\(\mathbb{P}\left(E_n,\mathrm{i.o.}\right)=0\);
若\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(E_n)=\infty\), 则\(\mathbb{P}\left(E_n,\mathrm{i.o.}\right)=1\).