鞅（Martingale）的概念来源于公平赌博。在上一节中，所提到的鞅差过程也与鞅有一定的联系。

定义1（鞅）设\(\{(X_n,\mathscr{F}_n),n\geq0\}\)是带流的随机过程，也即对任意的\(n\geq0\)，\(X_n\)是关于\(\mathscr{F}_n\)可测的随机变量，且\(\mathscr{F}_n\subset\mathscr{F}_{n+1}\)。如果对任意的\(n\geq0\)，\(X_n\)的积分存在，且 \[ \mathbb{E}(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)=X_n,\quad\mathrm{a.s.}, \] 则称\(\{X_n\}\)为鞅。如果将上式改为 \[ \mathbb{E}(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)\le X_n,\quad\mathrm{a.s.},\quad\text{或}\quad\mathbb{E}(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)\geq X_n,\quad\mathrm{a.s.}, \] 则分别称\(\{X_n\}\)为上鞅或下鞅。

根据以上定义，若\(\{-X_n\}\)为上鞅，则\(\{X_n\}\)为下鞅，反之亦成立。

例2 考虑简单的赌博模型，设本金为\(X_0\)，对\(n\geq 1\)，每次赌博的金额为1元，收益为\(\delta_n\)，且 \[ \mathbb{P}(\delta_n=-1)=\mathbb{P}(\delta_n=1)=\dfrac{1}{2}, \] 设经过\(n\)次赌博后的本金为\(X_n\)，则有 \[ X_{n+1}=X_0+\sum_{i=1}^{n+1}\delta_i=X_n+\delta_{n+1}. \] 记\(\mathscr{F}_n=\sigma(X_0,\delta_1,\cdots,\delta_n)\)，则\(X_n\)是关于\(\mathscr{F}_n\)可测的，且\(\mathscr{F}_n\subset\mathscr{F}_{n+1}\)，并且 \[ \mathbb{E}(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)=\mathbb{E}(X_n|\mathscr{F}_n)+\mathbb{E}(\delta_{n+1}|\mathscr{F})=X_n+\mathbb{E}\delta_{n+1}=X_n, \] 其中\(X_n\)关于\(\mathscr{F}_n\)可测，\(\delta_{n+1}\)与\(\mathscr{F}_n\)独立。从而\(\{(X_n,\mathscr{F}_n),n\geq0\}\)是鞅。

在大致了解了鞅之后，现在需要进一步研究鞅的性质。以下通常用\(\{X_n\}\)表示鞅，并且记使得\(X_0, X_1, \cdots, X_n\)可测的最小\(\sigma\)-代数 \[ \mathscr{F}_n=\sigma(X_0,X_1,\cdots,X_n). \]

命题3（期望） 设\(\{X_n\}\)为鞅，则\(\mathbb{E}X_n\)为常数；设\(\{X_n\}\)为上鞅，则\(\{\mathbb{E}X_n\}\)单调递减；设\(\{X_n\}\)为下鞅，则\(\{\mathbb{E}X_n\}\)单调递增。

证明 对于鞅的情形，对任意的\(n\geq0\)，都有 \[ \mathbb{E}X_{n+1}=\mathbb{E}[\mathbb{E}(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)]=\mathbb{E}X_n, \] 这便说明了\(\mathbb{E}X_n\)为常数。上鞅和下鞅的情形可以类似证明。

命题4（可加性）设\(\{X_n\}\)、\(\{Y_n\}\)为鞅（上鞅、下鞅），则\(\{X_n+Y_n\}\)也为鞅（上鞅、下鞅）。

证明 对于鞅的情形，注意到 \[ \mathbb{E}(X_{n+1}+Y_{n+1}|\mathscr{F}_n)=\mathbb{E}(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)+\mathbb{E}(Y_{n+1}|\mathscr{F}_n)=X_n+Y_n, \] 因此\(\{X_n+Y_n\}\)为鞅，同理也可以证明上鞅和下鞅的情形。

命题5（最大值与最小值） 设\(\{X_n\}\)和\(\{Y_n\}\)为鞅（上鞅），则\(\{X_n\wedge Y_n\}\)为上鞅；设\(\{X_n\}\)和\(\{Y_n\}\)为鞅（下鞅），则\(\{X_n\lor Y_n\}\)为下鞅。

证明 首先，设\(\{X_n\}\)和\(\{Y_n\}\)为鞅（上鞅），计算得 \[ \mathbb{E}(X_{n+1}\wedge Y_{n+1}|\mathscr{F}_n)\le\mathbb{E}(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)\wedge\mathbb{E}(Y_{n+1}|\mathscr{F}_n)\le X_n\wedge Y_n, \] 因此\(\{X_n\wedge Y_n\}\)为上鞅；接下来，设\(\{X_n\}\)和\(\{Y_n\}\)为鞅（下鞅），计算得 \[ \mathbb{E}(X_{n+1}\lor Y_{n+1}|\mathscr{F}_n)\geq\mathbb{E}(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)\lor\mathbb{E}(Y_{n+1}|\mathscr{F}_n)\geq X_n\lor Y_n, \] 因此\(\{X_n\lor Y_n\}\)为下鞅。

命题6（凸函数）设\(\{X_n\}\)为鞅，\(f\)为\(\mathbb{R}\)上的连续凸函数，如果每个\(f(X_n)\)可积，则\(\{f(X_n)\}\)为下鞅；设\(\{X_n\}\)为下鞅，\(f\)是连续非降的凸函数，如果每个\(f(X_n)\)可积，则\(\{f(X_n)\}\)为下鞅。

证明 设\(\{X_n\}\)为鞅，根据Jensen不等式得 \[ \mathbb{E}(f(X_{n+1})|\mathscr{F}_n)\geq f(\mathbb{E}(X_{n+1}|\mathscr{F}_n))=f(X_n), \] 因此\(\{f(X_n)\}\)为下鞅；再设\(\{X_n\}\)为下鞅，同样根据Jensen不等式得 \[ \mathbb{E}(f(X_{n+1})|\mathscr{F}_n)\geq f(\mathbb{E}(X_{n+1}|\mathscr{F}_n))\geq f(X_n), \] 因此\(\{f(X_n)\}\)为下鞅。

回忆起在上一节中定义了鞅差。

定义7（鞅差）设\(\{(X_n,\mathscr{F}_n),n\geq 0\}\)是带流的随机过程，也即对任意的\(n\geq 0\)，\(X_n\)是关于\(\mathscr{F}_n\)可测的随机变量，且\(\mathscr{F}_n\subset\mathscr{F}_{n+1}\)。如果对任意的\(n\geq 0\)，\(X_n\)的积分存在，且 \[ \mathbb{E}(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)=0,\quad\mathrm{a.s.}, \] 则称\(\{X_n\}\)为鞅差。

事实上，设\(\{X_n\}\)为鞅，若记\(x_0=X_0\)，\(x_{n+1}=X_{n+1}-X_n(n\geq 0)\)，则有 \[ X_n=\sum_{i=0}^{n}x_i,\quad\text{且}\quad\mathbb{E}(x_{n+1}|\mathscr{F}_n)=X_n-X_n=0, \] 这便说明了\(\{x_n\}\)是鞅差。反之，如果\(\{x_n\}\)是鞅差，也即对任意的\(n\geq 0\)，都有\(\mathbb{E}(x_{n+1}|\mathscr{F}_n)=0\)，记 \[ X_n=\sum_{i=0}^{n}x_i, \] 则根据\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)关于\(\mathscr{F}_n\)是可测的，知\(X_n\)关于\(\mathscr{F}_n\)是可测的，从而 \[ \mathbb{E}(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)=\mathbb{E}(X_n+x_{n+1}|\mathscr{F}_n)=X_n, \] 这便说明了\(\{X_n\}\)是鞅。上面的过程说明了鞅和鞅差是可以一一对应的。下面的定理就需要用到这样的技巧。

定理8（Doob分解）设\(\{X_n\}\)是下鞅，则存在鞅\(\{Y_n\}\)及增过程\(\{Z_n\}\)，使得 \[ X_n=Y_n+Z_n. \]

证明 记\(x_0=X_0\)，\(x_{n+1}=X_{n+1}-X_n\)，则 \[ \mathbb{E}(x_{n+1}|\mathscr{F}_n)=\mathbb{E}(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)-X_n\geq 0. \] 记 \[ z_0=0,\quad z_n=\mathbb{E}(x_n|\mathscr{F}_{n-1})\geq 0,\quad Z_n=\sum_{i=0}^{n}z_i, \] 则\(\{Z_n\}\)是增过程，再记 \[ y_0=x_0,\quad y_n=x_n-z_n,\quad Y_n=\sum_{i=0}^{n}y_i, \] 则\(X_n=Y_n+Z_n\)，并且根据 \[ \mathbb{E}(y_{n+1}|\mathscr{F}_n)=\mathbb{E}(x_{n+1}|\mathscr{F}_n)-\mathbb{E}(x_{n+1}|\mathscr{F}_n)=0 \] 知\(\{y_n\}\)是鞅差，从而\(\{Y_n\}\)是鞅。