次概率测度的列紧性
进一步, 我们研究所有次概率测度所构成的集合的结构.
考虑到所有的次概率测度和\([0,
1]\)是类似的, 并且考虑到\([0,
1]\)是列紧集, 我们也可以证明次概率测度所构成的集合是列紧的.
定理1 设\(\{\mu_n\}\)是次概率测度, 则存在子列\(\{\mu_{n_k}\}\), 使得\(\mu_{n_k}\xrightarrow{v}\mu\).
证明 定义函数 \[
F_n(x)=\mu_n(-\infty,x],\quad\forall x\in\mathbb{R}.
\] 则\(F_n\)是\(\mathbb{R}\)上单调递增的右连续函数, 且\(F_n(-\infty)=0\), \(F_n(\infty)=\mu_n(\mathbb{R})\le 1\).
设\(D\)是\(\mathbb{R}\)的可数稠密子集, \(\{r_k, k\geq 1\}\)是它的排列,
按照如下方式选择\(\{F_n\}\)的一个子列:
数列\(\{F_n(r_1), n\geq 1\}\)有界,
选取其的一个收敛子列\(\left\{F ...
淡收敛及其等价命题
淡收敛是对概率测度而言的一种性质.
定义1(次概率测度) 设\(\mu\)是\((\mathbb{R},
\mathscr{B}_{\mathbb{R}})\)上的测度, 如果\(\mu(\mathbb{R}^1)\le 1\), 则称\(\mu\)为次概率测度.
以下为了方便, 对次概率测度\(\mu\)及\(a,
b\in\mathbb{R}\), 记\(\mu(a,
b]:=\mu\left((a, b]\right)\), 类似的记号还有\(\mu[a, b)\), \(\mu(a, b)\)和\(\mu[a, b]\), 并约定当\(a>b\)时, 上述的值均为0.
定义2(淡收敛) 设\(\{\mu_n\}\), \(\mu\)是次概率测度, 如果存在\(\mathbb{R}\)的稠密子集\(D\), 使得对任意的\(a, b\in D\), \(a<b\), 都有 \[
\mu_n(a, b]\to\mu(a, b],
\] 则称\(\mu_n\)淡收敛到\(\mu\), 称\(\mu_n\)为\(\mu\)的淡极限, 记作\(\m ...
Borel-Cantelli引理
将事件列\(\{E_n\}\)的上极限, 也即
\[
\limsup_{n\to\infty}E_n=\bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcup_{n=m}^{\infty}E_n
\] 记作\(E_n, \mathrm{i.o.}\),
表示\(\{E_n\}\)发生无穷多次.
收敛部分
定理1 对于事件列\(\{E_n\}\), 有 \[
\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(E_n)<\infty\implies\mathbb{P}(E_n,
\mathrm{i.o.})=0.
\]
证明 由概率的次可加性得 \[
\mathbb{P}\left(\bigcup_{n=m}^{\infty}E_n\right)\le\sum_{n=m}^{\infty}\mathbb{P}(E_n),
\] 因此 \[
\mathbb{P}(E_n,\mathrm{i.o.})=\lim_{m\to\infty}\mathbb{P}\left(\bigcup_{n=m}^{\infty}E_n\right)\le\li ...
条件期望的几何意义
设\((\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})\)是概率空间,
\(\mathscr{G}\subset\mathscr{F}\)是子\(\sigma\)-域.
考虑随机变量空间(在这里考虑的是二次可积空间, 是为了引入范数和内积. )
\[
\begin{aligned}
&\mathscr{L}^2(\mathscr{F})=\{X\in\mathscr{L}^2(\Omega):\text{$X$是$\mathscr{F}$-可测的}\},
\\
&\mathscr{L}^2(\mathscr{G})=\{X\in\mathscr{L}^2(\Omega):\text{$X$是$\mathscr{G}$-可测的}\}.
\end{aligned}
\] 若随机变量\(X\in\mathscr{L}^2(\mathscr{G})\), 也即\(X\)是\(\mathscr{G}\)-可测的, 根据\(\mathscr{G}\subset\mathscr{F}\), 知 \[
X^ ...
有限维乘积空间
我们接下来探讨的问题是: 独立随机变量是否是存在的?
为了严格地说明这一点, 钟开莱书上引入了乘积空间的概念, 而为了更方便理解,
以下使用的是程士宏书上的定义.
定义1 (乘积空间) 设\(n\geq
2\), \((\Omega_i,\mathscr{F}_i)(1\le
i\le n)\)是可测空间, 记 \[
\prod_{i=1}^{n}\Omega_i:=\{(\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n):\omega_1\in\Omega_1,\omega_2\in\Omega_2,\cdots,\omega_n\in\Omega_n\}
\] 则\(\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\Omega_i\)称为\(\Omega_1,\Omega_2,\cdots,\Omega_n\)的乘积空间;
再记 \[
\mathscr{L}:=\{A_1\times A_2\times\cdots\times
A_n:A_1\in\mathscr{F}_1,A_2\in\mathscr{F}_2,\ ...
